Требуется определить наибольшее значение функции y = (x -2)2(x – 4) + 5 на отрезке [1;3]

Установим область определения функции y = (x -2)2(x – 4) + 5. Эта функция определена при любом действительном значении х.

 

Определим производную для выбранной функции. Для этого удобно правую часть уравнения функции преобразовать в многочлен.

 

f(x) = (x -2)2(x – 4) + 5 = (x2 – 4x + 4) (x – 4) + 5 = x3 – 4x2 + 4x– 4x2 + 16x – 16 + 5 = x3 - – 8x2 + 20x – 11;

 

f `(x) =( x3 - – 8x2 + 20x – 11)` = 3x2 - 16x + 20.

 

На следующем этапе приравниваем полученную производную к нулю:

 

3x2 - 16x + 20 = 0.

 

Решив, получаем корни х1 = 2 и х2 = 10/3.

 

Проанализируем знаки производной:

 

Функция. Пример нахождения наибольшего значения функции на отрезке.

 

Мы исследуем поведение функции на отрезке [1;3]:

 

Функция. Пример нахождения наибольшего значения функции на отрезке.

 

Делаем вывод, что наибольшее значение на отрезке [1,3] функция принимает в точке максимума, при х = 2. Найдем величину функции в этой точке, подставив х=2 в первоначальное уравнение:

 

y (2) = (2 -2)2(2 – 4) + 5 = 5.