Производная (функции в точке) — основное понятие дифференциального исчисления, которое характеризует скорость изменения функции (в конкретной точке).

 

Производную определяют как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к 0, если такой предел есть. Функция, которая имеет конечную производную (в некоторой точке), называется дифференцируемой (в данной точке).

 

Процесс нахождения производной является дифференцированием. Обратный процесс — вычисление первообразной — интегрирование.

 

Изображение понятия производной:

Производная функции

 

Рассмотрим взятую наугад внутреннюю точку x0 области определения функции y = f(x).

Разность Производная функции где x - тоже внутренняя точка области определения, является приращением аргумента в точке x0.

Разность Производная функции является приращением функции в точке x0, соответствующим приращению Производная функции и обозначают как Производная функции.

 

Производной функции y = f(x) в точке x0 является предел отношения приращения функции к приращению аргумента в этой точке при стремлении приращения аргумента к 0, если такой предел есть и конечен, то есть:

 

Производная функции

 

Основные свойства производных.

Если в точке x есть конечные производные функций v = v(x) и u = u(x), тогда в этой точке есть и производные суммы, разности, произведения и частного таких функций, при этом:

 

1. Производная функции,

2. Производная функции,

3. Производная функции,

4. Производная функции при Производная функции,

5. Производная функции, Производная функции.

 

1. Производная сложной функции.

 

Если у функции y = f(x) есть производная в точке x0, а у функции y = g(x) есть производная в точке y0 = f(x0), тогда у сложной функции h(x) = g(f(x)) тоже есть производная в точке x0, при этом:

 

Производная функции

 

2. Достаточное условие монотонности функции.

Если во всех точках интервала (a; b) выполняется неравенство:

 

Производная функции

 

то функция y = f(x) возрастает на этом интервале.

Если Производная функции при Производная функции то y = f(x) убывает на (a; b).

 

3. Необходимое условие экстремума функции.

Если точка x0 оказывается точкой экстремума функции y = f(x) и в этой точке есть производная Производная функции, тогда она равняется 0:

 

Производная функции

 

4. Признак максимума функции.

Если функция y = f(x) определена на интервале (a; b), непрерывна в точке Производная функции, у нее есть производная Производная функции на интервалах Производная функции, Производная функции и Производная функции на интервале Производная функции и Производная функции, на интервале Производная функции, то точка x0 оказывается точкой максимума функции:

 

Производная функции

 

5. Признак минимума функции.

Если функция Производная функции определена на интервале Производная функции, непрерывна в точке Производная функции, у нее есть производная Производная функции на интервалах Производная функции, и Производная функции, на интервале Производная функции и Производная функции на интервале Производная функции, то точка x0 оказывается точкой минимума функции:

Производная функции

 

Правило отыскания наибольшего и наименьшего значений функции.

Чтобы вычислить самое большое и маленькое значения функции, которая имеет на отрезке конечное количество критических точек (точек из области определения, обращающих производную функции в ноль либо не существует), необходимо определить значения функции в каждой критической точке и на концах отрезка и выбрать самое большое и маленькое из полученных чисел.

 

Определение производной функции.

Пусть в некоторой окрестности точки Производная функции определена функция Производная функции. Производной функции является такое число A, что функцию в окрестности Производная функции можно представить как:

 

Производная функции

если A существует.

 

Определение производной функции через предел.

Пусть в некоторой окрестности точки Производная функции определена функция Производная функции. Производной функции f в точке Производная функции является предел, если он существует:

 

Производная функции

 

Общепринятые обозначения производной функции  в точке .

Производная функции

 

Обратите внимание, что последнее зачастую обозначает производную по времени (в теоретической механике).

 

Геометрический и физический смысл производной.

Тангенс угла наклона касательной прямой.

Если у функции Производная функции есть конечная производная в точке Производная функции, тогда в окрестности Производная функции ее можно приблизить линейной функцией:

 

Производная функции

 

Функция Производная функции является касательной к f в точке Производная функции. Число Производная функции называется угловым коэффициентом или тангенсом угла наклона касательной прямой.

 

Скорость изменения функции.

Пусть Производная функции — закон прямолинейного движения. Тогда Производная функции выражает мгновенную скорость движения в момент времени Производная функции. Вторая производная Производная функции выражает мгновенное ускорение в момент времени Производная функции

В общем производная функции Производная функции в точке Производная функции выражает скорость изменения функции в точке Производная функции, т.е. скорость протекания процесса, который описан зависимостью Производная функции

 

Примеры производных функций.

  • Пусть Производная функции. Тогда

 

Производная функции

 

  • Пусть Производная функции. Тогда если Производная функции то

 

Производная функции

 

где Производная функции обозначает функцию знака. А если Производная функции то Производная функции, а следовательно Производная функции не существует.

 

Способы задания производных.

  • Производная Джексона

Производная функции