Производная функции.

Производная (функции в точке) — основное понятие дифференциального исчисления, которое характеризует скорость изменения функции (в конкретной точке).

Производную определяют как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к 0, если такой предел есть. Функция, которая имеет конечную производную (в некоторой точке), называется дифференцируемой (в данной точке).

Процесс нахождения производной является дифференцированием. Обратный процесс — вычисление первообразной — интегрирование.

Изображение понятия производной:

Рассмотрим взятую наугад внутреннюю точку x₀ области определения функции y = f(x).

Разность  где x - тоже внутренняя точка области определения, является приращением аргумента в точке x₀.

Разность  является приращением функции в точке x₀, соответствующим приращению  и обозначают как .

Производной функции y = f(x) в точке x₀ является предел отношения приращения функции к приращению аргумента в этой точке при стремлении приращения аргумента к 0, если такой предел есть и конечен, то есть:

Основные свойства производных.

Если в точке x есть конечные производные функций v = v(x) и u = u(x), тогда в этой точке есть и производные суммы, разности, произведения и частного таких функций, при этом:

1. ,

2. ,

3. ,

4.  при ,

5. , .

1. Производная сложной функции.

Если у функции y = f(x) есть производная в точке x₀, а у функции y = g(x) есть производная в точке y₀ = f(x₀), тогда у сложной функции h(x) = g(f(x)) тоже есть производная в точке x₀, при этом:

2. Достаточное условие монотонности функции.

Если во всех точках интервала (a; b) выполняется неравенство:

то функция y = f(x) возрастает на этом интервале.

Если  при  то y = f(x) убывает на (a; b).

3. Необходимое условие экстремума функции.

Если точка x₀ оказывается точкой экстремума функции y = f(x) и в этой точке есть производная , тогда она равняется 0:

4. Признак максимума функции.

Если функция y = f(x) определена на интервале (a; b), непрерывна в точке , у нее есть производная  на интервалах ,  и  на интервале  и , на интервале , то точка x₀ оказывается точкой максимума функции:

5. Признак минимума функции.

Если функция  определена на интервале , непрерывна в точке , у нее есть производная  на интервалах , и , на интервале  и  на интервале , то точка x₀ оказывается точкой минимума функции:

Правило отыскания наибольшего и наименьшего значений функции.

Чтобы вычислить самое большое и маленькое значения функции, которая имеет на отрезке конечное количество критических точек (точек из области определения, обращающих производную функции в ноль либо не существует), необходимо определить значения функции в каждой критической точке и на концах отрезка и выбрать самое большое и маленькое из полученных чисел.

Определение производной функции.

Пусть в некоторой окрестности точки  определена функция . Производной функции является такое число A, что функцию в окрестности  можно представить как:

если A существует.

Определение производной функции через предел.

Пусть в некоторой окрестности точки  определена функция . Производной функции f в точке  является предел, если он существует:

Общепринятые обозначения производной функции  в точке .

Обратите внимание, что последнее зачастую обозначает производную по времени (в теоретической механике).

Геометрический и физический смысл производной.

Тангенс угла наклона касательной прямой.

Если у функции  есть конечная производная в точке , тогда в окрестности  ее можно приблизить линейной функцией:

Функция  является касательной к f в точке . Число  называется угловым коэффициентом или тангенсом угла наклона касательной прямой.

Скорость изменения функции.

Пусть  — закон прямолинейного движения. Тогда  выражает мгновенную скорость движения в момент времени . Вторая производная  выражает мгновенное ускорение в момент времени

В общем производная функции  в точке  выражает скорость изменения функции в точке , т.е. скорость протекания процесса, который описан зависимостью

Примеры производных функций.

• Пусть . Тогда

• Пусть . Тогда если  то

где  обозначает функцию знака. А если  то , а следовательно  не существует.

Способы задания производных.

• Производная Джексона