Когда функция y = f (x), определенная на промежутке X, и достигает на нем своего наибольшего (наименьшего) значения, то существует такая точка c, принадлежащая этому промежутку, что для всех х из Х верно неравенство f (x) ≤ f (c) (f (x) ≥ f (c) для наименьшего).

Наибольшее значение c и наименьшее значение a непрерывной функции могут располагаться как внутри отрезка, так и по его концам.

 

Функция. Наибольшее и наименьшее значение функции.

 

Часто употребляют вместо терминов наибольшее и наименьшее значения термины – максимальное и минимальное значение функции.

Не лишним будет акцентировать внимание, что максимум и минимум значения функции ищут на некотором промежутке X, который будет либо всей областью определения функции либо частью области определения. Сам интервал X может являться отрезком [a ; b], открытым интервалом (а;b), (а;b], [а;b) , бесконечным промежутком (-∞ ; а), (-∞ ; а], (а ; ∞), [а ; ∞),(-∞ ; ∞).

В практической деятельности максимальное внимание привлекает применение производной при поиске наибольшего и наименьшего значения функции. Это требуется для ряда практических задач по оптимизации параметров: максимизация доходности, минимизация затрат, нахождение наилучшей загрузки оборудования. Именно это и есть задачи по вычислению наибольшего и наименьшего значения функции.