Как мы говорили в предыдущей статье, существует несколько методов определения частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. В прошлой статье мы рассмотрели первый метод, сейчас рассмотрим второй метод.

 

Если функция f(x) представляется произведением многочлена степени n и экспоненты , значит, частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка находится как ,

где Qn(x) является многочленом n-ой степени, 

r – количество корней характеристического уравнения, которые равняются .

Коэффициенты многочлена Qn(x) можно определить из равенства .

 

Рассмотрим этот метод определения частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами на примере.

 

Найдем общее решение дифференциального уравнения  .

Решение.

Общее решение имеет вид .

Нашему уравнению соответствует линейное однородное дифференциальное уравнение . Ранее мы определили, что корнями его характеристического уравнения оказываются k1 = 0 и k2 = 2 и .

Исходя из того, что правая часть исходного уравнения является произведением , значит, частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения находим как , причем Qn(x) является многочленом второй степени,  и r=0, т.к. у характеристического уравнения нет корней, которые были бы равны единице. Значит:

 ,

где А, В и С оказываются неизвестными коэффициентами. Их мы можем найти из равенства .

Исходя из того, что 


 

тогда

Приравняв коэффициенты у одинаковых показателей степени x, мы получим систему линейных уравнений, из которой вычислим искомые коэффициенты А, В и С:

Следовательно,  - частное решение заданного линейного неоднородного дифференциального уравнения и 

является общим решением исходного ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами.