Сейчас рассмотрим основные правила при решении линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами вида:
,
где p и q – являются произвольными действительными числами.
Теорема:
Общее решение ЛОДУ с непрерывными на интервале интегрирования X коэффициентами определяется при помощи линейной комбинации , где - линейно независимые частные решения линейного однородного дифференциального уравнения на X, а - произвольные постоянные.
То есть, общее решение ЛОДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами принимает вид y0=C1⋅y1+C2⋅y2, где y1 и y2 являются частными линейно независимыми решениями, а С1 и C2 являются произвольными постоянными уравнения. Теперь нам необходимо понять как определять частные решения y1 и y2.
Эйлер выдвинул идею - находить частные решения в виде .
Примем частным решением линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами , тогда подставляя это решение в наше уравнение, получаем тождество:
Таким образом у нас теперь есть т.н. характеристическое уравнение ЛОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами. При помощи решений k1и k2 данного характеристического уравнения вычисляем частные решения и нашего линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
Учитывая коэффициенты p и q корни характеристического уравнения могут быть такими:
1. Действительными и различными ,
