Функция. Порядок нахождения наибольшего и наименьшего значения непрерывной функции на открытом либо бесконечном интервале X.

Последовательность выполнения вычислений для определения наименьшего и наибольшего значения функции на открытом или бесконечном интервале состоит из нижеописанных этапов.

Устанавливаем, будет ли интервал X подмножеством области определения функции.

Выделяем совокупность точек, в которых не существует первая производная и которые располагаются на промежутке X (традиционно указанные точки встречаются у функций с аргументом под знаком модуля и у степенных функций с дробно-рациональным показателем). Когда указанных точек нет, то приступаем к последующему этапу.

Устанавливаем совокупность стационарных точек, расположенных в промежутке X. С этой целью производную функции приравниваем к нулю, находим корни образовавшегося уравнения и берем только подходящие. Когда стационарных точек нет либо ни одна из них не находится в интервал, то приступаем к последующему этапу.

Производим вычисления величин функции в стационарных точках и точках, в которых не существует первая производная функции (если такие точки есть).

Как видим, последовательность выполняя действий до этого момента ничем не отличался от нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке. Далее ход вычислений обусловлен интервалом X.

Когда интервал X характеризуется как:

(a;b), производим вычисления односторонних пределов ;

(a;b], устанавливаем величину функции в точке x=b и односторонний предел ;

[a;b), устанавливаем величину функции в точке x=a и односторонний предел ;

(- ∞; +∞), производим вычисления пределов на +∞ и -∞ ;

[a; +∞), выполняем вычисления величины функции в точке x=a и предел на +∞ ;

(a; +∞), производим вычисления одностороннего предела  и предела на +∞ ;

( -∞; b] устанавливаем величину функции в точке x=b и предел на -∞ ;

( -∞; b ) находим односторонний предел  и предел на -∞;

Получив значения функции и пределов, проводим последовательный анализ. Может быть получено множество вариантов ответов. Так, когда односторонний предел равен минус бесконечности (плюс бесконечности), то о максимальном (минимальном) значении функции ничего сказать нельзя для выбранного интервала.