Трансцендентное число (от лат. transcendere — переходить, превосходить) — это вещественное либо комплексное число, которое не является алгебраическим — другими словами, число, которое не может являться корнем многочлена с рациональными коэффициентами (не равного тождественно нулю).

 

В зависимости от того, над каким числовым полем рассматривают многочлены с целыми коэффициентами, областями, над которыми рассматриваются трансцендентные числа, служат поля действительных, комплексных или р-адических чисел.

Легко доказать (к примеру, от противного), что любое трансцендентное число обладает иррациональностью, но обратное утверждение неверно – редкое иррациональное число обладает трансцендентностью. К примеру, иррациональное число  является корнем уравнения х2 – 2 = 0.

 

Свойства трансцендентных чисел.

  • Множество трансцендентных чисел континуально.
  • Все трансцендентные вещественные числа являются иррациональными, однако обратное неверно. К примеру, число Числа Трансцендентные числа — иррациональное, но не трансцендентное: оно оказывается корнем многочлена Числа Трансцендентные числа (потому есть алгебраическим).
  • Порядок на множестве вещественных трансцендентных чисел изоморфен порядку на множестве иррациональных чисел.
  • Мера иррациональности почти всякого трансцендентного числа равняется двум.

 

Примеры трансцендентных чисел.

  • Число π.
  • Число e.
  • Десятичный логарифм всех целых чисел, кроме чисел типа 10n.
  • sin a, cos a и tg a, для всех ненулевых алгебраических чисел a (по теореме Линдемана — Вейерштрасса).