Комплексные числа (мнимые числа) — числа, которые имеют вид: x+iy, где x и y — вещественные числа, i — мнимая единица (величина, для которой выполняется равенство: i2 = -1).

Множество всех комплексных чисел с арифметическими операциями есть поле и обычно обозначают как .

 

Мнимое число (либо чисто мнимое число) — комплексное число с действительной частью, равной нулю. Раньше этим термином обозначали комплексные числа.

 

Комплексные числа изображаются на комплексной плоскости:


 

Например, построим на комплексной плоскости следующие комплексные числа:

 

, , ,

, , ,

, , , .

 

 

Действия над комплексными числами.

  • Сравнение.

a + bi = c + di

означает, что a = c и b = d (2 комплексных числа равны между собой только в том случае, если равны их действительные и мнимые части).

  • Сложение.

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i.

Для комплексных чисел работает правило 1-го класса: z1 + z2 = z2 + z1 – от перестановки слагаемых сумма не меняется.

Пример:

Сложим 2 комплексных числа z1 = 1 + 3i, z2 = 4 – 5i.

Для того чтобы сложить 2 комплексных числа нужно сложить их действительные и мнимые части:

  • Вычитание.

(a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i.

Пример:

Найдем разность комплексных чисел z1 – z2 и z2 – z1, с учетом того, что z1 = -2 + i, .

Действие аналогично сложению, отличие только в том, что вычитаемое берем в скобки, а потом – как обычно раскрываем их со сменой знака:

 

У числа, которое мы получили 2, а не 3 части. Так как действительная часть является составной: . Что было понятней ответ перепишем так: .

Рассчитываем 2-ю разность:


Здесь действительная часть тоже составная: .

Приведем короткий пример с «нехорошей» мнимой частью: . В этом случае без скобок никак не обойтись.

  • Умножение.

(a + bi)(c + di) = ac + bci + adi + bdi2 = (ac - bd) + (bc + ad)i.

Пример:

Найдем произведение комплексных чисел ,

Записываем произведение:

Раскрываем скобки, как обычно. Обратите внимание, что  и будьте внимательны.

Напомним: Чтобы умножить многочлен на многочлен надо все члены 1-го многочлена умножить на каждый член другого многочлена.

Распишем подробно:

Очевидно, что .

Как и в сумме, в произведении комплексных чисел работает перестановочный закон: .

Произведение 2-х сопряжённых комплексных чисел равно положительному действительному  числу.

  • Деление.

 

Разделить комплексное число  a + bi (делимое) на другое c + di (делитель) - значит найти третье число  e + fi  (частное), которое будучи умноженным на делитель c + di,  дает делимое  a + bi.

Если делитель ненулевой, деление всегда возможно.

Например:

Есть комплексные числа , . Найдем частное .

Составим частное:

 

Деление чисел производится способом умножения знаменателя и числителя на сопряженное знаменателю выражение.

Напомним, что  и смотрим на наш знаменатель: . В знаменателе уже имеется , поэтому сопряженным выражением в данном случае оказывается , т.е. .

Из правила, знаменатель необходимо домножить на , и, чтобы ничего не изменилось, умножить числитель на такое же число :

 

Дальше в числителе раскрываем скобки. А в знаменателе пользуемся формулой  (при ).

Распишем пошагово:

 

Часто перед делением дробь лучше упростить.

  • В частности,

 

Свойства комплексных чисел.

1. Основная теорема алгебры.

У всех, не являющихся константой многочленов (от одной переменной) с комплексными коэффициентами есть как минимум 1 корень в поле комплексных чисел.

2. Формула Муавра и извлечение корней из комплексных чисел.

Эта формула помогает возводить в целую степень комплексное число, не равное нулю, которое представлено в тригонометрической форме.

Формула Муавра имеет вид:

 

где r — модуль, а φ — аргумент комплексного числа.

 

Аналогичная формула применяется также и при вычислении корней n-ой степени из комплексного числа, не равного нулю:

 

 

Заметим, что корни n-й степени из комплексного числа, не равного нулю, всегда есть, и их чило равно n. На комплексной плоскости, как видно из формулы, все эти корни оказываются вершинами правильного n-угольника, который вписан в окружность радиуса  с центром в начале координат.

 

Например, корни 5-ой степени из единицы (вершины пятиугольника):