Линия на плоскости определяется (задается) как множество точек, характеризующихся некоторым только им свойственным геометрическим признаком.
Применение на плоскости системы координат дает возможность охарактеризовать место точки плоскости указанием пары чисел — ее координат, а расположение линии на плоскости характеризуется с помощью уравнения (т. е. тождества, объединяющего координаты точек линии).
Уравнением линии (или кривой) на плоскости хОу принято называть уравнение F(x;y) = 0 с двумя переменными, ему соответствуют координаты x и у любой точки линии и не соответствуют координаты всякой точки, не принадлежащей выбранной линии.
Переменные величины x и у в уравнении линии обозначают как текущие координаты точек линии.
Уравнение линии дает возможность анализ геометрических свойств линии заменить изучением его уравнения.
Так, для определения расположения точки А(x0; у0) на выбранной линии, достаточно рассмотреть, не выполняя геометрическое построение, соответствуют ли координаты точки А уравнению линии в избранной системе координат.
Линию на плоскости можно определить с помощью двух уравнений:
,
где x и у - координаты всякой точки М(х; у), расположенной на выбранной линии,
t - переменная величина, которую принято обозначать параметр.
Именно t характеризует местоположение точки (х; у) на плоскости.
Так, когда x = t + 1, у = t2, то величину параметра t = 1 представит на плоскости точка (3; 4), поскольку. x = 1 + 1 = 3, у = 22 - 4.
Когда параметр t меняется, то точка на плоскости сдвигается, описывая данную линию.
Такой метод определения линии именуется параметрическим, а уравнения - параметрическими уравнениями линии.
Для перехода от параметрических уравнений линии к уравнению типа F(x;y) = 0, требуется любым путем из двух уравнений убрать параметр t.
Так, от уравнений
выполнив замену t = х во второе уравнение, получаем уравнение у = х2;
либо у - х2 = 0, т. е. типа F(x; у) = 0.
И все же, отметим, данный переход не всегда осуществим.