Стандартное уравнение плоскости.

 

Ax + By + Cz + D = 0

 

Вектор (A, B, C) перпендикулярен плоскости.                      

Уравнение плоскости.

 

Уравнение плоскости по трем точкам (x1,y1,z1), (x2,y2,z2), (x3,y3,z3) можно получить из следующих

определителей:

 

Уравнение плоскости.

 

Раскрывая, получаем:

 

A = y1 (z2 - z3) + y2 (z3 - z1) + y3 (z1 - z2)

B = z1 (x2 - x3) + z2 (x3 - x1) + z3 (x1 - x2)

C = x1 (y2 - y3) + x2 (y3 - y1) + x3 (y1 - y2)

- D = x1 (y2 z3 - y3 z2) + x2 (y3 z1 - y1 z3) + x3 (y1 z2 - y2 z1)

 

Следует заметить, что, если все точки лежат на одной прямой, то (A,B,C) будет (0,0,0).

 

Знак s = Ax + By + Cz + D определяет, с какой стороны по отношению к плоскости находится точка (x,y,z).

 

Если s > 0, то точка лежит в той стороне, куда указывает нормальный вектор (A,B,C).

 

Если s < 0 - на противоположной стороне, а в случае s = 0 точка принадлежит плоскости.

 

 

Уравнение плоскости от обратного.

 

Если вектор N перпендикулярен плоскости, то все принадлежащие ей точки p удовлетворяют равенству:

 

N * p = k

 

где * - скалярное произведение двух векторов.

 

т.е: a * b = (ax,ay,az) * (bx,by,bz) = axbx + ayby + azbz

 

Если точка a принадлежит плоскости, то

 

N *(p - a) = 0