Теорема. Внешний угол произвольного треугольника больше любого внутреннего угла треугольника, не смежного с ним.

Если существует угол ∠ BCDвнешний угол треугольника ABC, то для него требуется обосновать, что ∠BCD >∠ B и ∠ BCD > ∠A.

 

Теорема о внешнем угле треугольника.

 

 

Для обоснования осуществим построение, последствием которого внешний угол BCD разделится на две части.

1. Прочертим медиану АО треугольника ABC.

2. Продлим её на отрезок ОЕ, равный АО.

3. Прочертим отрезок ЕС.

Далее проанализируем полученные треугольники АОВ и СОЕ. В указанных треугольниках

АО = ОЕ и ВО = ОС - по построению.

Углы АОВ и СОЕ одинаковы, как вертикальные.

Из этого получаем, что треугольник АОВ идентичен треугольнику СОЕ (по двум одинаковым сторонам и углу между ними, т. е. по 1-му признаку равенства треугольников).

Из равенства треугольников можем заключить, что ∠ B = ∠ BCE, поскольку они расположены в одинаковых треугольниках напротив одинаковых сторон АО и ОЕ. И все таки, угол ВСЕ лишь составная часть внешнего угла BCD, и значит, весь внешний угол BCD больше внутреннего угла В. Аналогичным образом обосновываем, что внешний угол BCD больше внутреннего угла А (при данном варианте доказательства построение начинаем с того что прочертим в треугольнике ABC медиану к стороне АС).

На сновании выше доказанной теоремы получаем три следствия, существенно упрощающие обоснование отдельных теорем.

1. В тупоугольном треугольнике лишь один угол тупой, прочие острые, поскольку внешний угол, смежный с тупым внутренним углом,- острый, следовательно, всякий из оставшихся внутренних углов также острый.

2. В прямоугольном треугольнике лишь один угол прямой, прочие острые, поскольку внешний угол, смежный с прямым внутренним углом также прямой, следовательно, всякий из оставшихся внутренних углов будет острым.

3. Из всякой точки, взятой вне прямой, есть возможность прочертить к этой прямой исключительно один единственный перпендикуляр, поскольку, допустив, что из указанной точки существует и второй перпендикуляр к выбранной прямой, мы имели бы треугольник, внешний угол которого был равен внутреннему углу, не смежному с ним, что не соответствует доказанной теореме.