Свойства логарифма вытекают из его определения. И так логарифм числа b по основанию а определяется как показатель степени, в которую надо возвести число a, чтобы получить число b (логарифм существует только у положительных чисел).

Из данной формулировки следует, что вычисление x=logab, равнозначно решению уравнения ax=b. Например, log28 = 3 потому, что 8 = 23 . Формулировка логарифма дает возможность обосновать, что если b=aс, то логарифм числа b по основанию a равен с. Также ясно, что тема логарифмирования тесно взаимосвязана с темой степени числа.

С логарифмами, как и с любыми числами, можно выполнять операции сложения, вычитания и всячески трансформировать. Но ввиду того, что логарифмы - это не совсем ординарные числа, здесь применимы свои особенные правила, которые называются основными свойствами.

 

Сложение и вычитание логарифмов.

 

Возьмем два логарифма с одинаковыми основаниями: loga x и loga y. Тогда сними возможно выполнять операции сложения и вычитания:

 

loga  x+ log a y= log a (x·y);

log a x - loga  y = log a (x:y).

 

Как видим, сумма логарифмов равняется логарифму произведения, а разность логарифмов - логарифму частного. Причем это верно если числа а, х и у положительны и а ≠ 1.

Важно обращать внимание, что основным аспектом в данных формулах выступают одни и те же основания. Если основания отличаются друг от друга, эти правила не применимы!

Правила сложения и вычитания логарифмов с одинаковыми основаниями читаются не только с лева на право, но и на оборот. В результате мы имеем теоремы логарифма произведения и логарифма частного.

Логарифм произведения двух положительных чисел равен сумме их логарифмов; перефразируя данную теорему получим следующее, если числа а, x и у положительны и а ≠ 1, то:

 

loga(xy) = logax+ logay.

 

Логарифм частного двух положительных чисел равен разности логарифмов делимого и делителя. Говоря по другому, если числа а, х и у положительны и а ≠ 1, то:

loga(x/y) = logax - logay.

 

Применим вышеизложенные теоремы для решения примеров:

log315 = log3(3 • 5) =log33 + log35 = 1 +log35.

log102 + log105 =log10(2 • 5) = log10l0 =1.

log325/16= log325 - log316.

log21000 - log2125 = log21000/125= log28 = 3.

 

Если числа x и у отрицательны, то формула логарифма произведения становится бессмысленной. Так, запрещено писать:

 

log2 [(-8) • (-4)] = log2(-8) + log2(-4),

 

так как выражения log2(-8) и log2(-4) вообще не определены (логарифмическая функция у = log2х определена лишь для положительных значений аргументах).

 

Теорема произведения применима не только для двух, но и для неограниченного числа сомножителей. Это означает, что для всякого натурального k и любых положительных чисел x1, x2, . . . ,xсуществует тождество:

 

loga(x1x2x3... xk) = logax1+ logax2+ logax3+ ... + logaxk.

 

Из теоремы логарифма частного можно получить еще одно свойство логарифма. Общеизвестно, что loga1= 0, следовательно,

 

loga1/b= loga1 - logab= - logab.

А значит имеет место равенство:

 

loga1/b= - logab.

 

Логарифмы двух взаимно обратных чисел по одному и тому же основанию будут различны друг от друга исключительно знаком. Так:

Log39= - log3 1/9;         log51/125= -log5125.