Логарифм. Свойства логарифма (корень логарифма, смена основания).

Корень логарифма из положительного числа равен логарифму подкоренного выражения, деленному на показатель корня:

И в правду, при работе со степенями используется зависимость , следовательно, применив теорему логарифма степени и получаем данную формулу.

Применим ее на практике, рассмотрим пример:

При решении заданий на нахождение логарифма достаточно часто оказывается полезным от логарифмов по одному основанию (например, а) перейти к логарифмам по другому основанию (например, с). В таких ситуациях применяют нижеследующую формулу:

При этом имеется ввиду, что a, b и с конечно же положительные числа, причем а и с не равны один.

Для наглядности решим далее указанное задание. Так нам известно, что log₁₀2 ≈ 0,3010, log₁₀3 ≈ 0,4771. Необходимо вычислить log₂3. По формуле смены основания получаем:

Для доказательства этой формулы воспользуемся основным логарифмическим тождеством:

Если положительные числа равны, то, очевидно, равны и их логарифмы по одному и тому же основанию с. Поэтому:

Применив теорему о логарифме степени:

Следовательно, log_ab · log_ca = log_cb откуда и вытекает формула смены основания логарифма.

Если в этой формуле в качестве с взять b, то получим:

а значит

 Применение этой формулы помогает значительно упростить вычисления. Так: