Логарифм. Десятичный логарифм.

За основание логарифмов нередко берут цифру десять. Логарифмы чисел по основанию десять именуют десятичными. При проведении вычислений с десятичным логарифмом общепринято оперировать знаком lg, а не log; при этом число десять, определяющие основание, не указывают. Так, заменяем log₁₀105 на упрощенное lg105; а log₁₀2 на lg2.

Для десятичных логарифмов типичны те же особенности, которые есть у логарифмов при основании, большем единицы. А именно, десятичные логарифмы характеризуются исключительно для положительных чисел. Десятичные логарифмы чисел, больших единицы, положительны, а чисел, меньших единицы, отрицательны; из двух не отрицательных чисел большему эквивалентен и больший десятичный логарифм и т. д. Дополнительно, десятичные логарифмы имеют отличительные черты и своеобразные признаки, которыми и поясняется, зачем в качестве основания логарифмов комфортно предпочитать именно цифру десять.

Перед тем как разобрать эти свойства, ознакомимся с нижеследующими формулировками.

Целая часть десятичного логарифма числа а именуется характеристикой, а дробная — мантиссой этого логарифма.

Характеристика десятичного логарифма числа а указывается как [lg а], а мантисса как {lg а}.

Возьмем, скажем, lg 2 ≈ 0,3010.Соответственно[lg 2] = 0, {lg 2} ≈ 0,3010.

Подобно и для lg 543,1 ≈2,7349. Соответственно,[lg 543,1] = 2, {lg 543,1}≈ 0,7349.

Достаточно повсеместно употребляется вычисление десятичных логарифмов положительных чисел по таблицам.

Характерные признаки десятичных логарифмов.

Первый признак десятичного логарифма. Десятичный логарифм целого не отрицательного числа, представленного единицей со следующими нулями, есть целое положительное число, равное численности нулей в записи выбранного числа.

Возьмем, lg 100 = 2, lg 1 00000 = 5.

Обобщенно, если

То а= 10ⁿ, из чего получаем

lg a = lg 10ⁿ = n lg 10 = п.

Второй признак. Десятичный логарифм положительной десятичной дроби, показанный единицей с предыдущими нулями, равен - п, где п - численность нулей в представлении этого числа, учитывая и нуль целых.

Рассмотрим, lg 0,001 = - 3, lg 0,000001 =-6.

Обобщенно, если

,

То a= 10^-n и получается

lga= lg 10ⁿ =-n lg 10 =-п

Третий признак. Характеристика десятичного логарифма не отрицательного числа, большего единицы, равна численности цифр в целой части этого числа исключая одну.

Разберем данный признак 1) Характеристика логарифма lg 75,631 приравнена к 1.

И правда, 10 < 75,631 < 100. Из этого можно сделать вывод

lg 10 < lg 75,631 < lg 100,

или

1 < lg 75,631 < 2.

Отсюда следует,

lg 75,631 = 1 +б,

где б — известная правильная положительная дробь. И, следовательно,

[lg 75,631] = 1,

Именно это и нужно было обосновать.

2) Характеристика логарифма lg 5673,1 =3.

И действительно,

1000 < 5673,1 < 10 000.

Соответственно

lg 1000 < lg 5673,1 < lg 10 000,

или

3 <  lg 5673,l  < 4.

можно представить как,

[lg 5673,1] = 3.

По большому счету, если целая часть не отрицательного числа а, большего единицы, включает п цифр, то

10^n-1<а< 10ⁿ.

Из чего делаем обобщение

lg 10^n -1lgа< lg 10ⁿ.,

или

n-1 < lg a < n.

 И можно заключить,

[lg a] = n - 1.

Четвертый признак десятичного логарифма. Характеристика десятичного логарифма положительной десятичной дроби, меньшей единицы, равна - п, где п - число нулей в заданной десятичной дроби перед первой значащей цифрой, включая и нуль целых.

Разберем. Характеристика логарифма lg 0,0015=-3.

Обоснованно,

0,001 < 0,0015 < 0,01.

получаем

lg 0,001 < lg 0,0015 < lg 0,01,

или

- 3 < lg 0,0015 < -2.

Выходит, lg 0,0015 = - 3 + б, где б  - известная правильная положительная дробь. И таким образом

[lg 0,0015] = -3.

Характеристика логарифма lg 0,6 = - 1. И в правду верно.

0,1< 0,6 < 1.

имеем

lg 0,1 < lg 0,6< lg 1,

или

-1 < lg 0,6 < 0.

Вследствие этого получаем ,

lg 0,6 = -1+ б,

где б — известная правильная положительная дробь. И, таким образом

[lg0,6] = -1.

Обобщая рассмотренное выше сделаем вывод: если перед первой значащей цифре правильной десятичной дроби б есть п нулей (включая в том числе и нуль целых), то

или

n < lga < - (n- 1).

Из чего можно вывести,

[lg a ] = - n.

Пятый признак. Если помножить числа на 10ⁿ ,то десятичный логарифм его возрастет на п.

Действительно, по формуле логарифма произведения

lg (а • 10ⁿ) = lg a + lg 10ⁿ = lg a + п.

Возьмем,

lg (739,15  •100) = lg 739,15 + 2;

lg (28 •10000) = lg 28 + 4.

Перемещение запятой в положительной десятичной дроби на п знаков вправо равноценно операции перемножения заданной дроби с 10ⁿ. Следовательно, при перемещении запятой в положительной десятичной дроби на п знаков вправо десятичный логарифм возрастет на п.

Шестой признак. Если поделить число на 10ⁿ, то десятичный логарифм уменьшается на п.

Рассмотрим,

lg ^2,68/₁₀₀= lg 2,68-2;

lg ^0,46/₁₀₀₀ = lg 0,46 - 3.

При перемещении запятой в положительной десятичной дроби на п знаков влево десятичный логарифм уменьшается на п.

Например, lg 0,3567 = lg 35,67 -2;lg 0,00054 = lg 0,54 -3.

Все обоснованные ранее признаки десятичных логарифмов касались их характеристики. Далее разберем признаки мантиссы десятичных логарифмов.

Седьмой признак десятичного логарифма. Мантисса десятичного логарифма положительного числа не меняется, если умножить это число на 10ⁿ с заданным целым показателем п.

Обоснованно, что при заданном целом п (как положительном, так и отрицательном)

lg (а • 10ⁿ) = lg a + lg 10ⁿ = lg a + п.

Но дробная часть числа не меняется при прибавлении к нему целого числа.

Смещение запятой в десятичной дроби вправо или влево равнозначно операции перемножения этой дроби на степень числа десять с целым показателем п (положительным или отрицательным). И следовательно, при смещении запятой в положительной десятичной дроби влево или вправо мантисса десятичного логарифма этой дроби не меняется.

Так, {lg 0,0053} = {lg 0,53} = {lg 0,0000053}.