Дроби. Десятичные дроби.

Десятичная дробь — разновидность дроби, представляющая собой метод представления действительных чисел в виде:

± d_m … d₁d₀, d_-1d_-2 …

где ± — знак дроби: или +, или -,

, — десятичная запятая, которая служит разделителем меж целой и дробной частями числа,

d_k — десятичные цифры.

При этом порядок следования цифр до запятой (слева от неё) имеет конец (как min 1-на цифра), а после запятой (справа) — может быть и конечной (как вариант, цифр после запятой может вообще не быть), и бесконечной.

Значением десятичной дроби ± d_m … d₁d₀, d_-1d_-2 … есть действительное число:

которое равно сумме конечного либо бесконечного количества слагаемых.

Представление действительных чисел при помощи десятичных дробей есть обобщение записи целых чисел в десятичной системе счисления. В представлении целого числа десятичной дробью нет цифр после запятой, и т.о., это представление выглядит так:

± d_m … d₁d₀,

И это совпадает с записью нашего числа в десятичной системе счисления.

Десятичная дробь - это итог деления 1-цы на 10, 100, 1000 и так далее частей. Эти дроби довольно удобны для вычислений, т.к. они основываются на такой же позиционной системе, на которой построены счёт и запись целых чисел. Благодаря этому запись и правила действий с десятичными дробями практически такие же, как и для целых чисел.

Записывая десятичные дроби не нужно отмечать знаменатель, он определяется местом, занимаемым соответствующей цифрой. Вначале пишем целую часть числа, далее справа ставим десятичную точку. Первая цифра после десятичной точки обозначает число десятых, вторая – число сотых, третья – число тысячных и так далее. Цифры, которые расположены после десятичной точки, являются десятичными знаками.

Например:

Одно из преимуществ десятичных дробей таково, что их очень просто можно привести к виду обыкновенных: число после десятичной точки (у нас это 5047) – это числитель; знаменатель равен n–ой степени 10, где n - число десятичных знаков (у нас это n = 4):

Когда в десятичной дроби нет целой части, значит, перед десятичной точкой ставим нуль:

Свойства десятичных дробей.

 1. Десятичная дробь не изменяется, когда справа добавляются нули:

13.6 =13.6000.

 2. Десятичная дробь не изменяется, когда удаляются нули, которые расположены в конце десятичной дроби:

0.00123000 = 0.00123.

Внимание! Нельзя удалять нули, которые расположенные НЕ в конце десятичной дроби!

 3. Десятичная дробь увеличивается в 10, 100, 1000 и так далее раз, когда переносим десятичную точку на соответственно 1-ну, 2, 2 и так далее позиций правее:

3.675 → 367.5 (дробь увеличилась в сто раз).

 4. Десятичная дробь становится меньше в десять, сто, тысячу и так далее раз, когда переносим десятичную точку на соответственно 1-ну, 2, 3 и так далее позиций левее:

1536.78 → 1.53678 (дробь стала меньше в тысячу раз).

Виды десятичных дробей.

Десятичные дроби делятся на конечные, бесконечные и периодические десятичные дроби.

Конечная десятичная дробь – это дробь, содержащая конечное количество цифр после запятой (или их там нет совсем), т.е. выглядит так:

Действительное число можно представить как конечную десятичную дробь лишь в том случае, если это число есть рациональным и при записи его несократимой дробью p/q знаменатель q не имеет простых делителей, которые отличны от 2 и 5.

Бесконечная десятичная дробь.

Периодическая десятичная дробь содержит бесконечно повторяющуюся группу цифр, которая называется периодом. Период записывается в скобках. Например, 0.12345123451234512345… = 0.(12345).

Периодическая десятичная дробь – это такая бесконечная десятичная дробь, в которой последовательность цифр после запятой, начиная с некоторого места, является периодически повторяющейся группой цифр. Иными словами, периодическая дробь — десятичная дробь, выглядящая так:

Подобную дробь обычно кратко записывают так:

Группа цифр b₁ … b_l, которая повторяется, является периодом дроби, число цифр в этой группе является длиной периода.

Когда в периодической дроби период идет сразу после запятой, значит, дробь является чистой периодической. Когда между запятой и 1-ым периодом есть цифры, то дробь является смешанной периодической, а группа цифр после запятой до 1-го знака периода — предпериодом дроби.

Например, дробь 1,(23) = 1,2323… есть чистой периодической, а дробь 0,1(23)=0,12323… — смешанной периодической.

Основное свойство периодических дробей, благодаря которому их выделяют из всей совокупности десятичных дробей, заключается в том, что периодические дроби и лишь они представляют рациональные числа. Точнее, имеет место следующее:

Любая бесконечная периодическая десятичная дробь представляет рациональное число. Обратно, когда рациональное число раскладывается в бесконечную десятичную дробь, значит, эта дробь будет периодической.