Системой линейных неравенств называется любая совокупность двух или более линейных неравенств, содержащих одну и туже неизвестную величину
Вот образцы подобных систем:
Решить систему неравенств означает установить все значения неизвестной величины, при которых реализуются все неравенство системы, либо доказать, что таких не существует.
Все решения системы неравенств формируют множество решений. Если система неравенств не реализуется ни при каких значениях х, то обозначают, что такие системы неравенств несовместимы.
Установим область определения функции .
Область определения или область допустимых значений –это множество всех х при которых функция существует.
Функция существует, когда существуют оба квадратных корня, т.е. под корнем стоит не отрицательное число.
Как рассчитать такую систему? Следует установить все x, одновременно выполняющие условия и первого и второго неравенства.
Воспроизведем на оси x множество решений первого и второго неравенства.
Промежуток пересечения двух лучей и есть наше решение. Следовательно решением данного неравенства выступают все х расположенные между двойкой и восьмеркой.
Ответ: х[2;8]
Применение такого типа отображения решения системы неравенств иногда именуют методом крыш.
Решением системы неравенств выступает пересечение двух множеств. Понять смысл пересечения помогает нижеследующий рисунок. Есть множество А произвольной природы и множество В произвольной природы, которые пересекаются. Если х принадлежит множеству А, то он может находится как любой области А, в том числе и там где данная область пересекается с областью В – xA. Аналогично и для х принадлежащего области В - хB И если х одновременно принадлежит и множеству А и множеству В, то мы получаем систему а значит х принадлежит пересечению двух множеств.
Определение: Пересечением двух множеств А и В называется такое третье множество, которое включает все элементы, входящих и в А и в В. Это смысл пересечения множеств произвольной природы. Нами сейчас детально рассматриваются числовые множества, поэтому при нахождении линейных неравенств такими множествами являются лучи – сонаправленные, противонаправленные и так далее.
Выясним на реальных примерах нахождение линейных систем неравенств, как определить пересечения множеств решений отдельных неравенств, входящих в систему.
Вычислим систему неравенств:
1.
Поместим одну под другой две силовые прямые. На верхней нанесем те значения х, которые выполняют первое неравенство x>7, а на нижней – которые выступают решением второго неравенства x>10 Соотнесем результаты числовых прямых, выясним, что оба неравенства будут удовлетворятся при x>10.
Ответ: (10;+∞).
2.
Делаем по аналогии с первым образцом. На заданной числовой оси наносим все те значения х при которых существует первое неравенство системы, а на второй числовой оси, размещенной под первой, - все те значения х , при которых выполняется второе неравенство системы. Соотнесем эти два результата и определим, что оба неравенства одновременно будут выполнятся при всех значениях х расположенных между 7 и 10 с учетом знаков получаем 7<х≤10
Ответ: (7; 10].
Подобным образом решаются и нижеследующие системы неравенств.
3.
x≤7
Ответ:(-∞; 7].
4.Решить систему
Откуда может взяться второе неравенство системы? Например, из неравенства x2 + 1 ≥ 0,
x2 ≥ -1 – верно для всех хR, то есть .х (-∞; ∞).
Графически обозначим решения каждого неравенства и найдем промежуток их пересечения.
х ≥ 1.
Ответ:[1; +∞).
Таким образом, если мы имеем систему, в которой одно из неравенств удовлетворяет любому значению x, то его можно отбросить.
5.
Ответ:x система противоречива.