Линейными называются неравенства левая и правая часть которых представляет собой линейные функции относительно неизвестной величины. К ним относятся, например, неравенства:

 

2х-1Линейные неравенства-х+3;          7хЛинейные неравенства0;

  5>4 – 6x       9-x < x + 5.

 

Линейные неравенства — это неравенства вида:

 

ax +b>0 либо ax + b<0

ax +b≤0 либо ax + b0

 

где a и b – некоторые заданные числа; x — неизвестная переменная.

Во всех них есть отличительная черта: в таких неравенствах отсутствуют иксы в квадрате, в кубе и т.д., кроме того в этих неравенствах нет деления на икс и икс не находится под знаком корня.

В зависимости от знака выделяют два типа линейных неравенств:

1) Строгие неравенства: ax +b>0 либо ax + b<0

2) Нестрогие неравенства: ax +b≤0 либо ax + b0

Разберем такое задание. Одна из сторон параллелограмма составляет 7см. Какой должна быть длина другой стороны, чтобы периметр параллелограмма был больше 44 см?

Пусть искомая сторона составит х см. В таком случае периметр параллелограмма будет представлен (14 + 2х) см. Неравенство 14 + 2х > 44 является математической моделью задачи о периметре параллелограмма. Если в этом неравенстве заменить переменную х на, например, число 16, то получим верное числовое неравенство 14 + 32 > 44. В таком случае говорят, что число 16 является решением неравенства 14 + 2х > 44.

Решением неравенства называют значение переменной, которое обращает его в верное числовое неравенство.

Следовательно, каждое из чисел 15,1; 20;73 выступают решением неравенства 14 + 2х > 44, а число 10, например, не является его решением.

Решить неравенство означает установить все его решения или доказать, что решений не существует.

Формулировка решения неравенства сходна с формулировкой корня уравнения. И все же не принято обозначать «корень неравенства».

Свойства числовых равенств помогали нам решать уравнения. Точно так же свойства числовых неравенств помогут решать неравенства.

Решая уравнение, мы меняем его другим, более простым уравнением, но равнозначным заданному. По схожей схеме находят ответ и неравенства. При смене уравнения на равнозначное ему уравнение пользуются теоремой о перенесении слагаемых из одной части уравнения в противоположную и об умножении обеих частей уравнения на одно и то же отличное от нуля число. При решении неравенства есть существенное различие его с уравнением, которое заключается в том, что всякое решение уравнения можно проверить просто подстановкой в исходное уравнение. В неравенствах такой способ отсутствует, так как бесчисленное множество решений подставить в исходное неравенство не представляется возможным. Поэтому есть важное понятие, вот эти стрелочки <=> - это знак эквивалентных, или равносильных, преобразований. Преобразование называются равносильными, или эквивалентными, если они не изменяет множества решений.

 

Сходные   правила решения неравенств .

 

Если какое-либо слагаемое переместить из одной части неравенства в другую, заменив при этом его знак на противоположный, то получим неравенство, эквивалентное данному.

Если обе части неравенства умножить (разделить) на одно и то же положительное число, то получим неравенство, эквивалентное данному.

Если обе части неравенства умножить (разделить) на одно и то же отрицательное число, заменив при этом знак неравенства на противоположный, то получим неравенство, эквивалентное данному.

Используя эти правила вычислим нижеследующие неравенства.

 

1) Разберем неравенство 2x – 5 > 9.

Это линейное неравенство, найдем его решение и обсудим основные понятия.

2x – 5 > 9 <=> 2x > 14 (5 перенесли в левую часть с противоположным знаком), далее поделили все на 2 и имеем x > 7. Нанесем множество решений на ось x

 

Линейные неравенства.

 

Нами получен положительно направленный луч. Отметим множество решений либо в виде неравенства x > 7, либо в виде интервала   хЛинейные неравенства(7; ∞). А что выступает частным решением этого неравенства? Например, x = 10 – это частное решение этого неравенства, x = 12 – это тоже частное решение этого неравенства.

Частных решений много, но наша задача – найти все решения. А решений, как правило, бесчисленное множество.

 

Разберем пример 2:

2) Решить неравенство 4a – 11 > a + 13.

Решим его: а переместим в одну сторону, 11 переместим в другую сторону, получим 3a < 24, и в результате после деления обеих частей на 3 неравенство имеет вид a<8.

4a – 11 > a + 13 <=> 3a < 24 <=> a < 8.

Тоже отобразим множество a < 8, но уже на оси а.

 

Линейные неравенства.

 

Ответ либо пишем в виде неравенства a < 8, либо а Линейные неравенства (-∞;8), 8 не включается.