Если переменные х, у выражаются посредством уравнения Ах + By = С, при этом числа А, В или по меньшей мере одно из них, не равно нулю, то графиком функциональной зависимости является прямая линия.

Когда С = 0, линия проходит через начало координат, если не равна нулю, то не проходит. Пусть ни А, ни В не равны нулю; тогда график пересекает обе оси координат, отсекая на оси абсцисс отрезок

Линейные функции,

а на оси ординат отрезок

Линейные функции.

При этом оговаривается, что масштабы на обеих осях одинаковые.

Линейные функции

Для пояснения рассмотрим пример: 

Графиком уравнения 2х + 5у = 10 является прямая линия АВ. Тогда, а = 10/2 = 5, а b = 10/5 = 2.

Графиком уравнения 2у – 3х = 9 является прямая линия А1В1. Тогда, а1 = 9/-3 = -3, а b1 = 9/2 = 4,5.

Решаем уравнение 2х + 5у = 10 по y, находим, что у = mx + b, при этом m = - А/В; b = С/В.

Полученное решение у = mx + b является линейной функцией с графиком в виде прямой линии.

Решаем уравнение 2у – 3х = 9 по y, находим, что:

Линейные функции

при этом m = - 3/2 = 3/2; b = 9/2. Графиком функции является также прямая линия А1В1.

Прямая линия, которая является графиком функции у = mx + b, образует с положительным направлением оси абсцисс угол, и тангенс его равен m, он отсекает на оси ординат отрезок b. Постоянная величина m называется угловым коэффициентом.

Для пояснения рассмотрим пример:

Прямая линия А1В1 , которая является графическим выражением функции

Линейные функции,

получаем тангенс угла XNB1 = 3/2; OL = 9/2.

Уравнение у = mx (прямая пропорциональность) является частным видом уравнения у = mx + b в том случае, когда b = 0.

Уравнение у = b тоже является частным случаем уравнения у = mx + b, для m = 0. При этом величина у становится постоянной и независимой от х.

 

Линейные функции

 

Однако, ее можно считать функцией переменной величины х, т.к. каждому значению х соответствует определенное значение у; только это значение одинаковое для всех значений х. Особенностью функции y = b, в случае если у = 0x + b, является то, что х перестает быть функцией у, т.к. значениям у, не равным b не соответствует никакое значение х). Графиком функции  в таком случае становится прямая линия, параллельная оси абсцисс (у = b).

Линия PQ выступает графиком уравнения у = 6, a P1Q1 графически характеризует уравнение у = - 4.

Уравнение у = b получается из уравнения Ах + By = С, для случая если А = 0, и b равно отношению С и В:

Линейные функции.

 

Если В = 0, то уравнение Ах + By = С можно представить в виде х = а, т.к. а – это отношение С к А, т. е. х будет постоянной величиной и можно считать ее функцией переменной величины у, при этом у не будет являться функцией х.

Графиком уравнения линейной функции х = а является прямая линия RS, которая параллельна оси ординат у. Линия RS характеризует график уравнения х = +4, a R1S1 изображает график уравнения х = - 2.

 

Линейные функции

Ось абсцисс х показывает график уравнения у = 0 а ось ординат у иллюстрирует график уравнения х = 0.