Рациональные неравенства. Дробно-рациональные неравенства.

Дробно-рациональное неравенство, это такое неравенство, в котором есть операции деления на выражение, содержащее переменную.

К примеру:

(х – 3) / (х + 3) + 3/(2 – x) > 5.

То есть к неравенствам этого типа относят неравенства вида:

,

где p(x) и g(x) - многочлены.

В отличие от целых рациональных неравенств, дробно-рациональные могут быть определены не для всех значений переменной.

В частности, требуется не брать во внимание такую величину х, при которой многочлен g(x) обращается в ноль (поскольку на ноль делить не допустимо).

С другой стороны, очевидно, что на всех допустимых значениях дробно-рациональное выражение  и многочлен – произведение p(x) g(x) имеют одинаковый знак.

Именно поэтому метод интервалов для дробно-рациональных неравенств, имеет свои специфические особенности:

1. Дробно-рациональное выражение  преобразуем в многочлен – произведение p`(x) = p(x) g(x).

2. Многочлен раскладываем на неприводимые множители:

p`(x) = a_n(x² + b₁x + c₁)^k1…( x² + b₂x + c₂) ^k1 (x -x₁)ⁿ₁… (x –x_l)ⁿ_l).

3. Сокращаем неприводимые множители второго порядка – квадратные трехчлены.

4. Отмечаем на числовой оси корни многочлена.

5. По знаку параметра a_n находим знаки многочлена p`(x) на образовавшихся интервалах согласно правилам:

а. На крайнем правом полуинтервале (когда x > x_l) знак многочлена и знак a_n одинаковые;

б. Двигаемся по числовой оси влево. Когда проходим следующий корень, x_i когда множителю (x – x_l)ⁿ_l присуща нечетная степень n_l  (включая один), знак многочлена изменяем на противоположный, и не меняем знак, когда эта степень – четная;

в. По тому, как разместились знаки у анализируемого неравенства, берем в ответ «положительные» либо «отрицательные» интервалы,

г. Когда знак неравенства нестрогий, в ответ берем все решения многочлена p(x);

д. Непременно отбрасываем из ответа все решения многочлена g(x).