Многогранник является правильным, если все его грани - одинаковые правильные многоугольники и все многогранные углы одинаковы (таков, к примеру, куб).
Из этой формулировки получаем, что в правильных многогранниках одинаковы все плоские углы, все двугранные углы и все ребра.
Чтобы конкретизировать, какие правильные многоугольники могут выступить гранями правильных многогранников, примем во внимание, что во многогранном угле наименьшее число граней три и что сумма всех плоских углов меньше 4d (d = 900)
Всякий угол правильного треугольника равен 2/3 d .Если повторим 2/3 d слагаемым 3 раза, 4 раза и 5 раз, то в результате будет сумма , меньшие 4d. А если повторим 2/3 d слагаемым 6 раз и более, то в результате получим сумму 4d и более. По этой причине из плоских углов, равных углам правильного треугольника есть возможность сформировать многогранные углы исключительно трех видов: трехгранные, четырехгранные и пятигранные.
Угол квадрата равен d, а угол правильного пятиугольника равен 6/5 d. Повторяя эти углы слагаемым 3 раза, в результате получаем суммы меньшие 4d, а повторяя 4 раза или более, имеем 4d и более. По этой причине из плоских углов, равных углам квадрата или правильного пятиугольника, можно сформировать исключительно трехгранные углы.
Угол правильного шестиугольника равен 4/3 d . Соответственно, из таких углов нельзя сформировать даже трехгранного угла. Из углов правильных многоугольников, имеющих более 6-ти сторон, тем более, не получится сформировать ни единого многогранного угла.
Из приведенного выше можно сделать вывод, что правильных многогранников существует только пять:
1. Правильный четырехгранник (или тетраэдр), поверхность которого сформирована из 4-х правильных треугольников.
2. Правильный восьмигранник (или октаэдр), поверхность которого сформирована из 8-ми правильных треугольников.
3. Правильный двадцатигранник (или икосаэдр), сформированый 20-тью правильными треугольниками.
4. Правильный шестигранник (или эксаэдр), сформированый 6-тью квадратами.
5. Правильный двенадцатигранник (или додекаэдр), сформированый 12-тью правильными пятиугольниками.