Измерение углов сводится к измерению соответствующих им дуг следующим образом. За единицу углов принимают угол, составляющий 1/90 часть прямого угла. Эту единицу называют угловым градусом.

За единицу дуг одинакового радиуса принимают такую дугу того же радиуса, которая соответствует центральному углу, равному угловому градусу. Такая дуга называется дуговым градусом.

Так как прямому центральному углу соответствует 1/4 окружности, то угловому градусу соответствует 1/90 четверти окружности. Значит, дуговой градус составляет 1/360 целой окружности.

Пусть требуется измерить угол AOB, то есть найти отношение этого угла к угловому градусу MNP.Для этого опишем из вершин углов дуги СD и EF произвольным, но одинаковым радиусом.

 

Измерение углов.

 

Тогда будем иметь:

Измерение углов.

 

Левое отношение этой пропорции - число, измеряющее угол AOB в угловых градусах Правое отношение - число, измеряющее дугу СD в дуговых градусах.

Следовательно, эту пропорцию можно выразить так: число, измеряющее угол в угловых градусах, равно числу, измеряющему соответствующую дугу в дуговых градусах.

Для краткости эту фразу выражают обыкновенно так: Угол измеряется соответствующей ему дугой.

Градусы угла или дуги подразделяются на 60 равных частей, называемых минутами (угловыми или дуговыми).

Минуту разделяют на 60 равных частей, называемых секундами (угловыми или дуговыми).

Из сказанного выше следует, что в угле содержится столько угловых градусов, минут и секунд, сколько в соответствующей ему дуге заключается дуговых градусов, минут и секунд.

Если, например, в дуге СD содержится 40 град. 25 мин. и 13,5 секунды (дуговых), то и в угле AOB заключается 40 град. 25 мин. 13,5 сек. (угловых). Это выражают сокращенно так:

 

∠AOB = 40°25’ 13,5’’,

 

обозначая значками (°), (‘), (‘’) соответственно градусы, минуты и секунды.

 

Так как прямой угол содержит 90°, то :

1. сумма углов всякого треугольника равна 180 °;

2. сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°;

3. каждый угол равностороннего треугольника равен 60°;

4. сумма углов выпуклого многоугольника, имеющего n сторон, равна 180° (n - 2 ).

 

Транспортир - это прибор, употребляемый для измерения углов, представляет собой полукруг, дуга которого разделена на 180 градусов.

 

Чтобы измерить угол AOB, накладывают на него прибор так, чтобы центр полукруга совпал с вершиной угла, а радиусом OM совпал со стороной AO. Тогда число градусов, содержащееся в дуге PN, покажет величину угла AOB. При помощи транспортира можно также начертить угол, содержащий данное число градусов.

Конечно, на таком приборе нет возможности отсчитывать не только секунды, но и минуты. Измерение и построение можно выполнить только приближенно.