Многоугольник. Свойства четырехугольников описанных около окружности.

Если все стороны какого-нибудь многоугольника (MNPQ) касаются окружности, то говорят, что этот многоугольник описан около окружности, или что окружность вписана в него.

Теорема.

В описанном выпуклом четырехугольнике суммы противоположных сторон равны.

Пусть ABCD будет описанный выпуклый четырехугольник, т.е. стороны его касаются окружности. Требуется доказать, что AB + CD = BC + AD.

Обозначим точки касания через M, N, P и Q.Так как две касательные, проведенные из одной точки окружности равны, то AM = AQ, BM = BN, CN = CP и DP = DQ. Следовательно, AM + MB + CP + PD = AQ + BN + NC + QD, т.е.

AB + CD = AD + BC.

Обратная теорема.

Если в выпуклом четырехугольнике равны суммы противоположных сторон, то в него можно вписать окружность.

Требуется доказать, что в него можно вписать окружность.

Пусть ABCD такой выпуклый четырехугольник, в котором: AB + CD = AD + BC.

Проведем биссектрисы BO и СO двух углов B и С. Эти прямые должны пересечься, потому что сумма углов NBO и NCO меньше 2d (так как B + C < 4d). Точка пересечения биссектрис должна быть одинаково удалена от сторон AB, BС и СD. Поэтому, если эту точку возьмем за центр, а за радиус один из трех равных перпендикуляров OM, ON, OP, опущенных из O на стороны углов B и С, то окружность коснется сторон AB, BС и СD.

Докажем, что она коснется и четвертой стороны AD. Для этого предположим, что касательная, проведенная к нашей окружности из точки A, будет не AD, а какая-нибудь иная прямая, например, AE. Тогда получится описанный выпуклый четырехугольник ABСE, в котором, по доказанному выше, будем иметь:

BС + AE= AB + СE.

Но по условию: BС + AD = AB + CD.

Вычитая почленно первое равенство из второго, получаем:

AD – AE = СD – СE = DE,

т.е. разность двух сторон D ADE равна третьей стороне DE, что невозможно.

Значит, нельзя допустить, чтобы касательной к нашей окружности была прямая AE, лежащая ближе к центру O, чем AD.

Так же можно доказать, что касательной не может быть никакая прямая AE₁, лежащая дальше от центра, чем AD. Значит, AD должна касаться окружности, т.е. в четырехугольник ABСD можно вписать окружность.