Если все вершины какого-нибудь многоугольника (ABCDE) лежат на окружности, то говорят, что этот многоугольник вписан в окружность, или что окружность описана около него.
Теорема.
В выпуклом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна двум прямым углам (2d).
Обратная теорема:
Если в выпуклом четырехугольнике сумма противоположных углов равна двум прямым углам (2d), то около него можно описать окружность.
Пусть ABCD - вписанный выпуклый четырехугольник. Необходимо обосновать, что:
∠B+ ∠D= 2d и ∠A+ ∠С= 2d
Углы B и D, как вписанные будут равны: первый - половиной дуги ADС, второй - половиной дуги ABС. Следовательно, B + D равняется полусумме дуг ADС и ABС, т.е. половиной окружности. Значит, B + D = 2d. Подобно этому убедимся, что A + С= 2d .
Пусть ABСD - такой выпуклый четырехугольник, у которого B + D = 2d .
Необходимо обосновать, что около такого четырехугольника можно описать окружность. Через какие-нибудь три его вершины, например, A, B, С прочертим окружность (что всегда можно сделать).
Четвертая вершина D должна располагаться на этой окружности, потому что в противном случае угол D лежал бы своей вершиной или внутри круга, или вне его, и тогда этот угол не измерялся бы половиной дуги ABС, поэтому сумма B + D не измерялась бы полусуммой дуг ADС и ABС, т.е. сумма B + D не равнялась бы 2d, что противоречит условию.
Следствия.
1. Из всех параллелограммов только около прямоугольника можно описать окружность.
2. Около трапеции можно описать окружность только тогда, когда она равнобедренная.