Икосаэдр — правильный выпуклый многогранник, двадцатигранник, один из тел Платона. 

 

Ранее мы писали о додекаэдре, сейчас поговорим о другом похожем двадцатиграннике – икосаэдре.

 

Все 20 граней являются равносторонними треугольниками. количество ребер

соответствует 30, количество вершин — 12. Икосаэдр состоит из 59

звёздчатых форм.

 

Все 12 вершин икосаэдра являются вершинами 5 равносторонних

треугольников, значит, сумма углов у вершины = 300°.

Икосаэдр.

 

У икосаэдра 30 ребер. Как и у всех правильных многогранников ребра икосаэдра имеют равную длину,

а грани - равную площадь. 

У икосаэдра, как и додекаэдра, 15 осей симметрии, все проходят через

середины противолежащих параллельных ребер. Точка пересечения этих

осей икосаэдра – это и есть его центр симметрии. 

Икосаэдр.
Икосаэдр.

Так же как и у додекаэдра, у икосаэдра 15 плоскостей симметрии.

Плоскости симметрии проходят через четыре вершины, которые лежат в

одной плоскости, и середины противоположных параллельных ребер. 

 

Пусть длина ребра икосаэдра будет а тогда:

 

Сумма длин всех ребер:

 

P = 30a

 

Площадь икосаэдра:

 

Икосаэдр.

 

Объем икосаэдра:

 

Икосаэдр.

 

Радиус вписанной в икосаэдр сферы:

 

Икосаэдр.

 

Радиус описанной вокруг икосаэдра сферы:

 

Икосаэдр.

 

Свойства икосаэдра.

 

  • Каждая из 12 вершин икосаэдра лежит по 3 в 4-х параллельных плоскостях, образуя во всех

плоскостях правильный треугольник.

  • 10 вершин икосаэдра находятся в 2-х параллельных плоскостях, и образуют в них 2 правильных

5-ти угольника, а оставшиеся 2 — противоположны друг другу и находятся в 2-х концах диаметра

описанной вокруг икосаэдра сферы, который перпендикулярен параллельным плоскостям.

  • Икосаэдр возможно вписать в куб, тогда 6 взаимо-перпендикулярных ребер икосаэдра будут

находиться соответственно на 6-ти гранях куба, оставшиеся 24 ребра находятся внутри куба, все 12

вершин икосаэдра будут находиться на ше6-ти гранях куба.

  • В икосаэдр можно вписать тетраэдр, таким образом, чтобы 4 вершины тетраэдра станут

совмещены с 4-мя вершинами икосаэдра.

  • Икосаэдр возможно вписать в додекаэдр, тогда вершины икосаэдра совместятся с центрами

граней додекаэдра.

  • В икосаэдр возможно вписать додекаэдр с совмещением вершин додекаэдра и центров граней

икосаэдра.

  • Усечённый икосаэдр можнополучить, срезав 12 вершин с образованием граней вида правильных

5-ти угольников. Тогда количество вершин нового многогранника увеличится в 5 раз (12×5=60), 20

треугольных граней становятся правильными шестиугольниками (количество граней

теперь 20+12=32), а рёбер - 30+12×5=90.

  • Сделать икосаэдра можно из 20 тетраэдров.
  • Нельзя сделать икосаэдр из правильных тетраэдров, потому что радиус описанной сферы вокруг

икосаэдра и длина бокового ребра (вершины-центр такой сборки) тетраэдра меньше ребра икосаэдра.

 

Усечённый икосаэдр.

 

Усечённый икосаэдр — это многогранник, который состоит из 12 правильных 5-ти угольников и 20

правильных 6-ти угольников. У усеченного икосаэдра икосаэдрический тип симметрии.

 

Примеры икосаэдров в мире:

  • Обычный футбольный мяч является усечённым икосаэдром.
  • Капсиды большинства вирусов (например, бактериофаги, мимивирус).
Молекула фуллерена C60 — усечённый икосаэдр. Икосаэдр.

Развертка икосаэдра.

Икосаэдр.

 

Как сделать икосаэдр.

 

Способ № 1 Икосаэдр из заготовки

 

  Распечатываем готовое изображение развертки икосаэдра, вырезаем и склеиваем по границам. Далее

на ваше усмотрение окрашиваете в любой цвет и украшаете.

 

Способ № 2 Икосаэдр своими руками

 

   Вам понадобится бумага, карандаш, линейка (удобней будет циркуль), ножницы, клей ПВА (или другой).

При помощи линейки, циркуля и карандаша рисуем на бумаге несколько треугольников (как на рисунке

ниже). Чтоб было легче, можете нарисовать 5 параллелограммов, а после каждый прямоугольник

разделить на 4 равносторонних  треугольника. Далее вырезаем, оставив места для склейки и

крепежей и склеиваем. 

 

Икосаэдр.