Мнимая единица.

Мнимая единица — в основном комплексное число, квадрат которого равняется отрицательной единице: .

Число  называется мнимой единицей.

Мнимая единица не относится к  привычному нам множеству действительных чисел, а используется для расширения этого множества.

Мнимая единица — это число, у которого квадрат равняется минус единице. То есть i — это одно из решений уравнения:

 или   .

И тогда его вторым решением уравнения будет , что можно проверить подстановкой.

Комплексная плоскость. Все точки на плоскости соответствуют комплексному числу. Координаты a и b соответствуют действительной и мнимой части комплексного числа.

Примеры расчетов с мнимой единицей.

• ;
• ;
• ;
• .

Интересно то, что все многочлены имеют корни, если брать в расчет мнимую единицу, если точнее, количество корней равняется степени многочлена, с точностью до кратности корней.

Например:

Степени мнимой единицы .

Степени i повторяются циклично:

Это можно записать для любой степени таким образом:

где n — всякое целое число.

Отсюда: , где mod 4 это остаток от деления на 4.

Число  оказывается вещественным числом:

Корни из мнимой единицы .

В поле комплексных чисел корень n-ой степени имеет n решений. На комплексной плоскости корни из мнимой единицы расположены в вершинах правильного n-угольника, который вписан в окружность единичного радиуса.

Это следует из формулы Муавра и того, что мнимую единицу можно представить в тригонометрическом виде:

В частности,  и 

Кроме того, корни из мнимой единицы можно представить в показательном виде:

Корни квадратные из мнимой единицы.

Корни кубические из мнимой единицы (вершины треугольника).