Мнимая единица — в основном комплексное число, квадрат которого равняется отрицательной единице: .

Число  называется мнимой единицей.

 

Мнимая единица не относится к  привычному нам множеству действительных чисел, а используется для расширения этого множества.

 

Мнимая единица — это число, у которого квадрат равняется минус единице. То есть i — это одно из решений уравнения:

 

 или   .

 

И тогда его вторым решением уравнения будет , что можно проверить подстановкой.


 

Комплексная плоскость. Все точки на плоскости соответствуют комплексному числу. Координаты a и b соответствуют действительной и мнимой части комплексного числа.

 

Примеры расчетов с мнимой единицей.

 

  • ;
  • ;
  • ;
  • .

 

Интересно то, что все многочлены имеют корни, если брать в расчет мнимую единицу, если точнее, количество корней равняется степени многочлена, с точностью до кратности корней.

Например:

 

Степени мнимой единицы .

Степени i повторяются циклично:

 

Это можно записать для любой степени таким образом:

 

 

где n — всякое целое число.

Отсюда: , где mod 4 это остаток от деления на 4.

Число  оказывается вещественным числом:

 

 

Корни из мнимой единицы .

В поле комплексных чисел корень n-ой степени имеет n решений. На комплексной плоскости корни из мнимой единицы расположены в вершинах правильного n-угольника, который вписан в окружность единичного радиуса.

 

 

Это следует из формулы Муавра и того, что мнимую единицу можно представить в тригонометрическом виде:

 

 

В частности,  и 

 

Кроме того, корни из мнимой единицы можно представить в показательном виде:

 

 

Корни квадратные из мнимой единицы.

Корни кубические из мнимой единицы (вершины треугольника).