Неравенства. Квадратные неравенства.

Квадратными неравенствами обозначают неравенства типа

ax²+bx+c> 0,ax²+bx+c< 0,ax²+bx + c>0, ax²+bx + c<0,

где a, b и с - числа и и а ≠ 0.

Квадратные неравенства еще называют неравенствами второй степени.

При решении квадратного неравенства следует  вычислить корни идентичного квадратного уравнения ax² +bx +c=0. Первоначально требуется вычислить дискриминант D заданного квадратного уравнения с помощью формулы

 D= b² -4ac.

В результате можем иметь нижеследующие варианты:

1) При D = 0 у квадратного уравнения один корень:

 .

2) При D>0 у квадратного уравнения два корня. Парабола пересекает ось х в двух точках с абсциссами:

3) При D<0 у квадратного уравнения нет корней.

Следовательно, парабола размещена целиком выше оси х (при а>0), либо ниже (при a<0)

Смотря какие получены корни и знак коэффициента a допустимо одно из шести размещений графика функции ax² +bx +c=у:

Если необходимо указать отрезок, на котором квадратный трехчлен положителен, то это отрезок расположен там, где парабола расположена над осью x. По аналогии если необходимо найти отрицательные значения, то берем отрезок, где парабола расположена под осью x

Если квадратное неравенство нестрогое, то корни входят в числовой промежуток, если строгое - не входят.

Так же следует отметить, что если дискриминант квадратного трехчлена ax² +bx +c больше нуля, то этот трехчлен обретает как положительные, так и отрицательные значения. Если же дискриминант меньше нуля, то все значения квадратного трехчлена имеют один и тот же знак, соответственно знак коэффициента при x².

При решении неравенства ax² +bx +c > 0 не требуется тщательно строить параболу у= ax² +bx +c  по точкам (к примеру, вовсе нет необходимости вычислять вершину параболы, точку пересечения с осью у и т. д.). Допустимо упрощенно изобразить кривую.  Точность необходима только при вычислении корней уравнения ax² +bx +c=0 (при D > 0).