ЕГЭ формулы, шпаргалки - Аналитическая геометрия. Плоские линии второго порядка. Эллипс. Гипербола. Парабола.

Общее уравнение линии второго порядка в декартовой системе координат:

Инварианты относительно переноса начала координат и поворота осей:

,

Характеристическая квадратичная форма уравнения (1): .

Характеристическое уравнение квадратичной формы (2): .

Связь между корнями характеристического уравнения квадратичной формы и инвариантами: S = λ₁ + λ₂; δ = λ₁⋅λ₂.

Полуинвариант уравнения (1) (инвариант относительно поворота осей): 

.

В зависимости от значений величин δ, ∆, S, A уравнение (1) определяет одну из следующих линий:

Ортогональным преобразованием координат 

x = x′ cos – y  sin + x₀,    y = x′ sin + y′ cos + y₀,

общее уравнение F (x, y) = 0 в невырожденном случае (∆ ≠ 0) приводится к канонической форме уравнений эллипса, гиперболы и параболы.

Эллипс.

Каноническое уравнение эллипса:

,

где λ₁ и λ₂ — корни характеристического уравнения, .

Уравнение в параметрической форме (t — параметр):

Уравнение в полярных координатах r, : 

,

где — фокальный параметр, — эксцентриситет (0 ≤ e < 1), a — большая полуось.

Уравнение директрис эллипса в декартовой системе координат: x = – a/e, x = a/e.

Окружность.

Уравнение окружности радиуса R,

• с центром в начале координат: x² + y² = R²;
• с центром в точке (a; b): (x – a)² + (y – b)² = R²;
• с центром в точке (r₀; ): r² – 2rr₀ cos ( – ₀) + r₀² = R²;
• с центром в полюсе полярной системы координат: r = R;

Гипербола.

Каноническое уравнение:

,

где λ₁ и λ₂ — корни характеристического уравнения, .

Уравнение в параметрической форме (t — параметр):

.

Уравнение в полярных координатах r, :

— фокальный параметр, 

 — эксцентриситет.

Уравнение директрис гиперболы в декартовой системе координат: x = – a/e, x = a/e.

Парабола.

Каноническое уравнение:

,

Уравнение параболы в полярных координатах:

.

Полный список всех формул, шпаргалок для ЕГЭ по математике тут: ЕГЭ математика - формулы, шпаргалки.