Теорема.

Если стороны прямоугольного треугольника измерены одной единицей, то квадрат числа, выражающего гипотенузу равен сумме квадратов чисел, выражающих катеты.

Эту теорему обыкновенно выражают сокращенно так:

Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Это соотношение было впервые замечено греческим геометром Пифагором (VI в. до н.э.) и носит поэтому его имя - теорема Пифагора.

Теорема.

В треугольнике квадрат стороны, лежащей против острого угла, равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения какой-нибудь из этих сторон на ее отрезок от вершины острого угла до высоты.

 

Числовые зависимости между элементами треугольника.(сторон, высот, медиан).

 

Пусть BС - сторона треугольника ABС (черт. 1 и черт. 2), лежащая против острого угла A , и BD - высота опущенная на какую-либо из остальных сторон, например, на AС (или на ее продолжение).Требуется доказать, что:

 

BC2 = AB2 + AС2 - 2 AС. AD.

 

Из прямоугольных треугольников BDС и ABD выводим:

 

BC2 = BD2+DС2    [1];    

BD2 = AB2 - AD2    [2].

 

С другой стороны: DС=AС-AD (черт. 1) или DС=AD-AС (черт. 2). В обоих случаях для DС2 получим одно и то же выражение:

 

DС2 = (AС-AD)2 = AС- 2AС.AD + AD2;

DС2 = (AD-AС)2 = AD- 2AD.AС + AС2 [3].

 

Подставив в равенство [1] вместо BD2  и DС2 их выражения из равенств [2]  и  [3] , получим:

 

BC2 = AB2 - AD2 + AС2 - 2 AС . AD + AD2.

 

Это равенство, после сокращения членов -AD2  и +AD2 , и есть то самое, которое требовалось доказать.

 

         Замечание. Доказанная теорема остается верной и тогда, когда угол С прямой. Тогда отрезок СD обратится в ноль, т.е. AС станет равна AD, и мы будем иметь:

 

BC2 = AB2 + AС2  -  2AС2  =  AB2  -  AС2.

 

Что согласуется с теоремой о квадрате гипотенузы.

 

Теорема.

В треугольнике квадрат стороны, лежащей против тупого угла, равен сумме квадратов двух других сторон, сложенных с удвоенным произведением какой-нибудь из этих сторон на отрезок ее продолжения от вершины тупого угла до высоты. Доказательство аналогично предыдущему.

 

Следствие.

Из трех последних теорем выводим, что квадрат стороны треугольника равен, меньше или больше суммы квадратов других сторон, смотря по тому, будет ли противолежащий угол прямой, острый или тупой.

Отсюда следует обратное предложение: Угол треугольника окажется прямым, острым или тупым, смотря по тому, будет ли квадрат противолежащей стороны равен, меньше или больше суммы квадратов других сторон.

 

Вычисление высоты треугольника по его сторонам.

Числовые зависимости между элементами треугольника.(сторон, высот, медиан).

 

Обозначим высоту, опущенную на сторону а треугольника ABС , через ha. Чтобы вычислить ее, предварительно из уравнения:

 

b2 = a2 + с2 – 2aс.

 

находим отрезок основания с’:

 

Числовые зависимости между элементами треугольника.(сторон, высот, медиан)..

 

После чего из DABD определяем высоту, как катет:

 

Числовые зависимости между элементами треугольника.(сторон, высот, медиан)..

 

Таким же путем можно определить высоты hb  и  hс , опущенные на стороны b  и  с.

 

Вычисление медиан треугольника по его сторонам.

Пусть даны стороны треугольника ABС и требуется вычислить его медиану BD. Для этого продолжим  ее на расстояние DE = BD и точку E соединим с A и С. Тогда получим параллелограмм ABCE.

 

Применяя к нему предыдущую теорему, найдем: BE=  2AB2 + 2BС- AС2.

 

Тогда Числовые зависимости между элементами треугольника.(сторон, высот, медиан)..