Решение треугольников — исторический термин, который означают решение главной тригонометрической задачи: из известных данных о треугольнике (сторона, угол и так далее) найти другие характеристики этого треугольника.

 

Для решения задач на определение сторон и углов прямоугольного треугольника необходимо вспомнить определения sin, cos и tg.

 

В случае с прямоугольными треугольниками: всегда известен 1-ин из углов — равный 90 градусам. Нежно найти еще 2 элемента, хотя бы один из них — сторона. Обычно обозначают так: вершина прямого угла буквой C, а гипотенуза — c. Катеты обозначают буквами a и b, а величины противоположных им углов — α и β.

 

Формулы для расчета очень упрощаются, т.к. вместо теорем sin и cos используют более простое соотношение — теорему Пифагора:

 

c2 = a2 + b2

и определения sin и cos:

Описание: C:UsersiriffochkaDesktop447f1f3058b9b113ae4b3585e9d4a1d9.png

 

Кроме того известно, что углы α и β являются острыми, т.к. сумма всех углов треугольника равняется 90°. Значит, каждый из неизвестных углов точно можно определить по всякой из его тригонометрических функций (sin, cos, tg и др.) методом вычисления соответствующей обратной тригонометрической функции.

 

Так как 1-на из известных величин является прямым углом, случай «3 стороны» исключаем из рассмотрения. Другие случаи:

 

  • 2 стороны и угол между ними → 2 катета;
  • 2 стороны и угол напротив одной из них → катет и гипотенуза;
  • Сторона и 2 прилежащих угла → катет и прилежащий острый угол;
  • Сторона, противолежащий угол и 1 из прилежащих:
    • → катет и противолежащий острый угол, если прямой угол — прилежащий;
    • → гипотенуза и острый угол, если прямой угол — противолежащий.

 

При правильной постановке задачи (когда известна гипотенуза и катет, значит катет меньше гипотенузы; когда известен 1 из углов кроме прямого, значит он острый) решение всегда есть и оно единственно.

 

Обратите внимание:

1. Для определения неизвестного угла лучше всего пользоваться теоремой косинусов, а не синусов. Потому, что значение sin угла у вершины треугольника не определяет однозначно самого угла. К примеру, если sin β = 0,5, значит, угол β может быть равным 30° и 150°, так как sin этих углов совпадают. Исключение: когда предварительно известно, что в этом треугольнике тупых углов не может быть — к примеру, когда треугольник прямоугольный. С cos таких проблем нет, в интервале 0° - 180° значение cos определяет угол однозначно.

2. Дальше везде предполагают, что взаимное расположение заданных характеристик треугольника известно; если это не так, значит, зеркальное отражение построенного треугольника также окажется решением задачи. К примеру, 3 стороны точно определяют треугольник с точностью до отражения.

3. Каждый треугольник подразумевается невырожденным, т.е. длина стороны не может быть равной нулю, а величина угла — неотрицательное число, меньшее 180°.