Числа. Сопряженное число.

Сопряженное число: Если комплексное число , то число  является сопряженным (либо комплексно сопряженным) к  (часто обозначается как ).

На комплексной плоскости сопряженные числа находят зеркально отражая их относительно вещественной оси. Модуль сопряженного числа равен модулю исходного числа, а аргументы сопряженных чисел имеют противоположные знаки.

Мнимая единица  i  из определения умножения имеет свойство того, что квадрат ее равняется  –1,  то есть она является квадратным корнем из  –1.

Комплексное число  –i  обладает этим же свойством:  

(–i)² = ((–1)  i)² = (–1)²  i² = –1,

что естественно. Можно сказать, что некоторый 1-н квадратный корень из  –1  обозначаем через  i,  тогда 2-й корень запишем как  (–i).  Замена  i  на  (–i)  приводит к понятию комплексного сопряжения.

Переход к сопряженному числу рассматривают еще как одноместную операцию. Перечислим ее свойства.

Свойства сопряженных чисел.

•  (сопряженное к сопряженному является исходным). Произведение и сумма комплексно-сопряженных чисел является действительным числом:
• 
• 

Еще некоторые соотношения:

Доказательство :

=a₁a₂ – b₁b₂ – (a₁b₂ + a₂b₁)i.

= (a₁ – b₁i)(a₂ – b₂i) =

= a₁a₂ – (–b₁)  (–b₂) + (a₁  (–b₂) + a₂  (–b₁))i =

= a₁a₂ – b₁b₂ – (a₁b₂ + a₂b₁)i, 

 что и требовалось доказать.

Обобщим: , где  — произвольно взятый многочлен с вещественными коэффициентами. Отсюда видно, что у многочлена с вещественными коэффициентами есть или лишь действительные корни, или, если он имеет корни с не равной нулю мнимой частью, то они разбиваются на пары комплексно-сопряженных.

Умножение числителя и знаменателя комплексной дроби при комплексном знаменателе на сопряженное к знаменателю выражению используют для того, что бы избавиться от комплексности знаменателя. Это дает возможность выразить выражение в канонической форме комплексного числа или функции.

Значимость сопряжения объясняют тем, что оно есть образующей группы Галуа .