Сопряженное число: Если комплексное число Числа Сопряженное число, то число Числа Сопряженное число является сопряженным (либо комплексно сопряженным) к Числа Сопряженное число (часто обозначается как Числа Сопряженное число).

На комплексной плоскости сопряженные числа находят зеркально отражая их относительно вещественной оси. Модуль сопряженного числа равен модулю исходного числа, а аргументы сопряженных чисел имеют противоположные знаки.

 

Мнимая единица  i  из определения умножения имеет свойство того, что квадрат ее равняется  –1,  то есть она является квадратным корнем из  –1.

Комплексное число  –i  обладает этим же свойством:  

(–i)2 = ((–1) Числа Сопряженное число i)2 = (–1)2 Числа Сопряженное число i2 = –1,

 

что естественно. Можно сказать, что некоторый 1-н квадратный корень из  –1  обозначаем через  i,  тогда 2-й корень запишем как  (–i).  Замена  i  на  (–i)  приводит к понятию комплексного сопряжения.

 

Переход к сопряженному числу рассматривают еще как одноместную операцию. Перечислим ее свойства.

 

Свойства сопряженных чисел.

  • Числа Сопряженное число (сопряженное к сопряженному является исходным). Произведение и сумма комплексно-сопряженных чисел является действительным числом:
  • Числа Сопряженное число
  • Числа Сопряженное число

Еще некоторые соотношения:

  • Числа Сопряженное число
  • Числа Сопряженное число

Доказательство Числа Сопряженное число:

Числа Сопряженное число=a1a2 – b1b2 – (a1b2 + a2b1)i.

Числа Сопряженное число= (a1 – b1i)(a2 – b2i) =

= a1a2 – (–b1)  (–b2) + (a1  (–b2) + a2  (–b1))i =

= a1a2 – b1b2 – (a1b2 + a2b1)i, 

 что и требовалось доказать.

 

Обобщим: Числа Сопряженное число, где Числа Сопряженное число — произвольно взятый многочлен с вещественными коэффициентами. Отсюда видно, что у многочлена с вещественными коэффициентами есть или лишь действительные корни, или, если он имеет корни с не равной нулю мнимой частью, то они разбиваются на пары комплексно-сопряженных.

 

Умножение числителя и знаменателя комплексной дроби при комплексном знаменателе на сопряженное к знаменателю выражению используют для того, что бы избавиться от комплексности знаменателя. Это дает возможность выразить выражение в канонической форме комплексного числа или функции.

 

  • Числа Сопряженное число
  • Числа Сопряженное число

Значимость сопряжения объясняют тем, что оно есть образующей группы Галуа Числа Сопряженное число.