ЕГЭ формулы, шпаргалки - Дифференциальная геометрия. Поверхности в трехмерном пространстве.

Поверхности в трехмерном пространстве.

Способы задания поверхности:

— явный — функцией z = f (x, y);

— неявный — в виде уравнения F (x, y, z) = 0;

— параметрический

• в векторном виде: r = r (u, v),
• в координатном виде: x = x (u, v), y = y (u, v), z = z (u, v), (1)

где u, v — гауссовы координаты поверхности.

Точка поверхности (x (u₀, v₀), y (u₀, v₀), z (u₀, v₀)) называется неособой, если функции (1) имеют непрерывные частные производные и ранг матрицы  равен 2.

Уравнение касательной плоскости к поверхности, заданной в параметрической форме, в неособой точке (u₀; v₀):

,

Уравнение нормали к поверхности, заданной в параметрической форме, в неособой точке (u₀; v₀):

.

Дифференциал радиус-вектора r вдоль параметрически заданной линии u = u(t), v = v(t), лежащей на поверхности r = r (u, v):

.

Квадрат дифференциала радиус-вектора:  (первая квадратичная форма поверхности).

Коэффициенты E, F, G первой квадратичной формы:

.

Длина дуги линии u = u(t), v = v(t) на поверхности, заданной в параметрической форме (1):

,

где Σ — область поверхности на плоскости u, v.

Площадь поверхности, заданной в явной форме z = f (x, y):

,

где Σ₀ — проекция области Σ поверхности на плоскость x, y.

Единичный вектор нормали к поверхности, заданной в параметрической форме r = r (u, v):

,

где E, F, G — коэффициенты первой квадратичной формы. 

Вторая квадратичная форма поверхности r = r (u, v): 

- (dr ⋅ dm) = L (u, v) du² + 2M (u, v) du dv + N (u, v) dv²,

где L, M, и N — коэффициенты:

,

.

Нормальное сечение поверхности в точке (u₀; v₀) — кривая пересечения поверхности с нормальной плоскостью (плоскостью, проходящей через нормаль к поверхности в точке (u₀; v₀)).

Кривизна нормального сечения, проведенного в направлении du/dv:

.

Теорема Менье. Кривизна кривой γ, лежащей на поверхности, связана с кривизной нормального сечения формулой , где — угол между соприкасающейся плоскостью кривой γ и плоскостью нормального сечения.

В каждой точке поверхности существуют два главных нормальных сечения, для которых k_N принимает наибольшее k₁ и наименьшее k₂ значения (главные кривизны), являющиеся корнями характеристического уравнения (кроме омбилических точек, в которых kN одно и то же для всех нормальных сечений) .

Направления касательных к главным сечениям в данной точке называются главными направлениями (они взаимно ортогональны).

Формула Эйлера. Кривизна произвольного нормального сечения выражается через главные кривизны k₁, k₂ и угол между касательным вектором к нормальному сечению и первым главным направлением: .

Средняя кривизна поверхности: .

Гауссова кривизна (полная кривизна) поверхности: .

Значения k₁, k₂, H, K не зависят от выбора криволинейных координат.

Полный список всех формул, шпаргалок для ЕГЭ по математике тут: ЕГЭ математика - формулы, шпаргалки.