По двум сторонам a и b треугольника ABC и радиусу R описанного круга вычислить третью сторону x треугольника.
Проведя диаметр СD и хорды AD и BD , получим вписанный четырехугольник ACBD , в котором
DС = 2R ,
Применяя к этому четырехугольнику теорему Птоломея будем иметь:
откуда легко найдем x .
Задача будет иметь другое решение, если предположим, что стороны a и b лежат по одну сторону от центра. Применяя к этому случаю теорему Птоломея, мы получим следующее уравнение:
Теорема.
Произведение двух сторон треугольника равно:
1. произведению диаметра описанного круга на высоту, проведенную к третьей стороне.
2. квадрату биссектрисы угла, заключенного между этими сторонами, сложенному с произведением отрезков третьей стороны.
1.Обозначим стороны треугольника ABC через a, b и с, высоту, опущенную на сторону a через ha , а радиус описанного круга через R.Проведем диаметр AD и соединим D с B.
Треугольники ABD и AEC подобны, потому что углы B и E прямые и D= С , как углы вписанные, опирающиеся на одну и ту же дугу.
Из подобия выводим : с : ha = 2R : b
Откуда: bc = 2R . ha [1]
Из этой формулы легко определить величину радиуса R описанного круга.
По первой теореме мы имеем: bс = 2Rha , где b и с есть две стороны треугольника, ha - высота, опущенная на третью сторону треугольника, и R - радиус описанного круга.
Из этого равенства выводим:
R =bc/2ha,
Исключим из этой формулы высоту ha: для этого умножим числитель и знаменатель дроби на a. Тогда, заменив произведение ha a удвоенной площадью треугольника (которую обозначим S), получим:
,
где p = 1/2 ( a + b + с )- полупериметр.
Чтобы найти радиус r внутреннего вписанного круга рассмотрим треугольник АВС со вписанной в него окружностью. Отметим центр вписанной окружности и примем во внимание, что прямые OA, OB и OС разделяют данный треугольник на три других треугольника, у которых основаниями служат стороны данного треугольника, а высотой - радиус r.
Поэтому: S=1/2ar + 1/2br + 1/2cr = r ½ (a+b+c) = rp.
Отсюда:
Разбор ЕГЭ 2013 по математике. Задание С1
