Кубические уравнения. Метод перебора при решении кубических уравнений.

Метод перебора при решении кубических уравнений получил самую широкую известность. Алгоритм его выполнения сводится к нижеследующему.

Первоначально подберем один из корней уравнения использовав то свойство, что у кубического уравнения неизменно присутствует, по крайней мере, один действительный корень, причем целый корень кубического уравнения с целыми коэффициентами будет делителем свободного члена d.

Коэффициенты этих уравнений, как правило, подобраны так, что требуемый корень есть небольшое целое число, такое как: 0, ± 1, ± 2, ± 3.

И, соответственно, требуется обнаружить корень среди этих чисел и проверить его путём подстановки в уравнение.

Примем данный корень за x ₁.

На следующем этапе разделим многочлен ax ³ + b x ² + cx + d на двучлен x – x ₁.

Применим теореме Безу (деление многочлена на линейный двучлен), согласно которой это деление без остатка возможно, и по итогу вычислений получаем многочлен второй степени, который равен нулю. Решая полученное квадратное уравнение, мы найдём (или нет!) два других корня.

Проанализируем ход решения уравнения: x ³ – 3x² – 13x + 15 = 0.

Найдем первый корень, подставляя в уравнение цифры: 0, ± 1, ± 2, ± 3 получаем, что 1 является корнем. Далее разделим левую часть этого уравнения на двучлен x- 1, и получим:

Далее, вычислим корни квадратного уравнения: x² – 2x – 15 = 0.

Это будут x₁ = –3 и x₂ = 5.