Для решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений первого порядка найдем неизвестную функцию, представленную как произведение:
y = u ⋅ v,
где u и v – функции аргумента x.
Подставив эту функцию в линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка получим:
Если вычислим такое v, чтобы оно было не равным нулю частным решением дифференциального уравнения , то u сможем вычислить из уравнения с разделяющимися переменными .
Рассмотрим применение этого способа на примере.
Пример.
Найдем общее решение ЛНДУ .
Решение.
Пусть y = u ⋅ v, тогда:
Найдем такое v, не равное нулю, чтобы выражение в скобках превращалось в нуль. Другими словами, найдем частное решение ДУ .
Возьмем частное решение v = x2 + 1, соответствующее C2 – С1 = 0.
Для этого частного решения получаем:
Тогда, общее решение исходного ЛНДУ является: .
Как можно увидеть, что решая методом вариации произвольной постоянной для решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений первого порядка и методом, описанным в этой статье, ответы совпадают.
Поэтому выбирайте, какой из методов решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений первого порядка Вам больше нравится и используйте его.