Для решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений первого порядка найдем неизвестную функцию, представленную как произведение:

y = u v,

где u и v – функции аргумента x.

Подставив эту функцию в линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка получим:


Описание: C:UsersiriffochkaDesktop25.png

 

Если вычислим такое v, чтобы оно было не равным нулю частным решением дифференциального уравнения Второй метод решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений первого порядка, то u сможем вычислить из уравнения с разделяющимися переменными Второй метод решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений первого порядка.

 

Рассмотрим применение этого способа на примере.

 

Пример.

Найдем общее решение ЛНДУ Описание: C:UsersiriffochkaDesktop12.png.

 

Решение.

Пусть y = u v, тогда:


Описание: C:UsersiriffochkaDesktop28.png

 

Найдем такое v, не равное нулю, чтобы выражение в скобках превращалось в нуль. Другими словами, найдем частное решение ДУ Второй метод решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений первого порядка.


Описание: C:UsersiriffochkaDesktop30.png

 

Возьмем частное решение v = x2 + 1, соответствующее C2 – С1 = 0.

Для этого частного решения получаем:


Описание: C:UsersiriffochkaDesktop31.png

 

Тогда, общее решение исходного ЛНДУ является: Второй метод решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений первого порядка.

Как можно увидеть, что решая методом вариации произвольной постоянной для решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений первого порядка и методом, описанным в этой статье, ответы совпадают.

Поэтому выбирайте, какой из методов решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений первого порядка Вам больше нравится и используйте его.