Второй метод решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений первого порядка.

Для решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений первого порядка найдем неизвестную функцию, представленную как произведение:

y = u ⋅ v,

где u и v – функции аргумента x.

Подставив эту функцию в линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка получим:

Если вычислим такое v, чтобы оно было не равным нулю частным решением дифференциального уравнения , то u сможем вычислить из уравнения с разделяющимися переменными .

Рассмотрим применение этого способа на примере.

Пример.

Найдем общее решение ЛНДУ .

Решение.

Пусть y = u ⋅ v, тогда:

Найдем такое v, не равное нулю, чтобы выражение в скобках превращалось в нуль. Другими словами, найдем частное решение ДУ .

Возьмем частное решение v = x² + 1, соответствующее C₂ – С₁ = 0.

Для этого частного решения получаем:

Тогда, общее решение исходного ЛНДУ является: .

Как можно увидеть, что решая методом вариации произвольной постоянной для решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений первого порядка и методом, описанным в этой статье, ответы совпадают.

Поэтому выбирайте, какой из методов решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений первого порядка Вам больше нравится и используйте его.