Логарифм. Свойства логарифма (степень логарифма).

Свойства логарифма получаются из его определения. Общеизвестный факт, что логарифм числа b по основанию а определяется как показатель степени, в которую надо возвести число a, чтобы получить число b.

Из формулировки получаем очевидные равенства log_a1 = 0 так как а⁰=1 и, log_aа = 1 так как а¹=а.

Рассмотрим ситуации, когда в основании или аргументе логарифма стоит степень. Тогда показатель этой степени можно вынести за знак логарифма по следующим правилам:

Конечно же, все эти формулы будут иметь смысл при соблюдении области действующих значений логарифма: a > 0, a ≠ 1, x > 0. И еще: ими всеми можно пользоваться не только слева направо, но и наоборот, а значит разрешено перемещать числа, стоящие перед знаком логарифма в сам логарифм. Собственно это чаще всего и делается.

Логарифм степени положительного числа равен произведению показателя этой степени на логарифм ее основания:

log_axⁿ = n log_ax;

Или если сказать проще, в данном случае показатель степени выносится как сомножитель, в результате трудоемкое действие возведения в степень меняем на более элементарную операцию умножения.

Например:

1) log₃25 = log₃5² = 2log₃5;

2) log₇49⁶ = 6log₇49 = 6 · 2.

При отрицательных значениях х формула становиться бессмысленной. Так, запрещено писать log₂(- 4)² = 2log₂ (- 4), так как выражение log₂(- 4) не определено. Однако обратим внимание, что выражение, стоящее в левой части этой формулы, все же имеет смысл:

log₂(- 4)² = log₂16 = 4.

Вообще, если число х отрицательно, то выражение log_ax^2k = 2klog_ax определено, поскольку x^2k > 0. Выражение же 2klog_ax в этом случае не  имеет смысла. Поэтому писать log_ax^2k = 2klog_ax запрещено. Однако разрешено писать log_ax^2k = 2klog_a|x|.

Например:

log₃(- 3)⁴ = 4 log₃|- 3| = 4 log₃3 = 4.