Поверхность S называется поверхностью вращения вокруг оси OZ, если для любой точки M0(x0,y0,z0)

этой поверхности окружность, проходящая через эту точку в плоскости z=z0 с центром в (0,0,z0) и радиусом

Поверхности второго порядка. Поверхности вращения., целиком принадлежит этой поверхности.

 

Теорема (об уравнении поверхности вращения).

 

Если в некоторой декартовой прямоугольной системе координат поверхность S задана уравнением

F(x2+y2,z)=0, то S — поверхность вращения вокруг оси OZ.

 

Эллипсоид:

 

Поверхности второго порядка. Поверхности вращения.        

Поверхности второго порядка. Поверхности вращения. Поверхности второго порядка. Поверхности вращения.

 

Мнимый эллипсоид.

 

Поверхности второго порядка. Поверхности вращения.

 

где a > 0, b > 0, c > 0. Эта поверхность не имеет ни одной вещественной точки.

 

Свойства эллипсоида.

 

     1. Эллипсоид – ограниченная поверхность, поскольку из его уравнения следует, что Поверхности второго порядка. Поверхности вращения. Поверхности второго порядка. Поверхности вращения. Поверхности второго порядка. Поверхности вращения.  

 

     2. Эллипсоид обладает:

  • центральной симметрией относительно начала координат,
  • осевой симметрией относительно координатных осей,
  • плоскостной симметрией относительно начала координат.

     3. В сечении эллипсоида плоскостью, перпендикулярной любой из координатных осей, получается

эллипс.

 

Однополостной гиперболоид.

 

Свойства однополостного гиперболоида.

 

     1. Однополостной гиперболоид – неограниченная поверхность, поскольку из его уравнения следует, что

z – любое число.

     2. Однополостной гиперболоид обладает:

  • центральной симметрией относительно начала координат,
  • осевой симметрией относительно всех координатных осей,
  • плоскостной симметрией относительно всех координатных плоскостей.

     3. В сечении однополостного гиперболоида плоскостью, перпендикулярной оси координат Oz, получается

эллипс, а плоскостями, ортогональными осям Ox и Oyгипербола.

 

Поверхности второго порядка. Поверхности вращения.

 

Поверхности второго порядка. Поверхности вращения.               Поверхности второго порядка. Поверхности вращения.

 

Двуполостной гиперболоид.

 

Свойства двуполостного гиперболоида.

 

     1. Двуполостный гиперболоид – неограниченная поверхность, поскольку из его уравнения следует,

что Поверхности второго порядка. Поверхности вращения. и неограничен сверху.

     2. Двуполостный гиперболоид обладает

  • центральной симметрией относительно начала координат,
  • осевой симметрией относительно всех координатных осей,
  • плоскостной симметрией относительно всех координатных плоскостей.

     3. В сечении однополостного гиперболоида плоскостью, перпендикулярной оси координат Oz, при 

получается эллипс, при  – точка, а в сечении плоскостями, перпендикулярными осям

Ox и Oy, – гипербола.

 

Поверхности второго порядка. Поверхности вращения.   Поверхности второго порядка. Поверхности вращения.         Поверхности второго порядка. Поверхности вращения.

 

Поверхности второго порядка. Поверхности вращения.

Эллиптический параболоид.

 

Поверхности второго порядка. Поверхности вращения.

Поверхности второго порядка. Поверхности вращения.

 

В случае, если a=b≠0, перечисленные выше (эллипсоид, однополостной гиперболоид, двуполостной

гиперболоид, эллиптический параболоид) поверхности являются поверхностями вращения.

 

Эллиптический параболоид.

 

Свойства эллиптического параболоида.

 

     1. Эллиптический параболоид – неограниченная поверхность, поскольку из его уравнения следует,

что z ≥ 0 и принимает сколь угодно большие значения.

     2. Эллиптический параболоид обладает:

  • осевой симметрией относительно оси Oz,
  • плоскостной симметрией относительно координатных осей Oxz и Oyz.

     3. В сечении эллиптического параболоида плоскостью, ортогональной оси Oz, получается эллипс, а

плоскостями, ортогональными осям Ox и Oy – парабола.

 

Уравнение эллиптического параболоида имеет вид:

 

Поверхности второго порядка. Поверхности вращения.

 

Если a=b, то эллиптический параболоид представляет собой поверхность вращения, образованную

вращением параболы, параметр которой Поверхности второго порядка. Поверхности вращения., вокруг вертикальной оси, проходящей через

вершину и фокус данной параболы.

 

Пересечение эллиптического параболоида с плоскостью z=z0>0 является эллипсом.

 

Пересечение эллиптического параболоида с плоскостью x=x0 или y=y0 является параболой.