Поверхность S называется поверхностью вращения вокруг оси OZ, если для любой точки M0(x0,y0,z0)

этой поверхности окружность, проходящая через эту точку в плоскости z=z0 с центром в (0,0,z0) и радиусом

, целиком принадлежит этой поверхности.

 

Теорема (об уравнении поверхности вращения).

 

Если в некоторой декартовой прямоугольной системе координат поверхность S задана уравнением

F(x2+y2,z)=0, то S — поверхность вращения вокруг оси OZ.

 

Эллипсоид:

 

        

 

Мнимый эллипсоид.

 

 

где a > 0, b > 0, c > 0. Эта поверхность не имеет ни одной вещественной точки.

 

Свойства эллипсоида.

 

     1. Эллипсоид – ограниченная поверхность, поскольку из его уравнения следует, что     

 

     2. Эллипсоид обладает:

  • центральной симметрией относительно начала координат,
  • осевой симметрией относительно координатных осей,
  • плоскостной симметрией относительно начала координат.

     3. В сечении эллипсоида плоскостью, перпендикулярной любой из координатных осей, получается

эллипс.

 

Однополостной гиперболоид.

 

Свойства однополостного гиперболоида.

 

     1. Однополостной гиперболоид – неограниченная поверхность, поскольку из его уравнения следует, что

z – любое число.

     2. Однополостной гиперболоид обладает:

  • центральной симметрией относительно начала координат,
  • осевой симметрией относительно всех координатных осей,
  • плоскостной симметрией относительно всех координатных плоскостей.

     3. В сечении однополостного гиперболоида плоскостью, перпендикулярной оси координат Oz, получается

эллипс, а плоскостями, ортогональными осям Ox и Oy – гипербола.

 

 

              

 

Двуполостной гиперболоид.

 

Свойства двуполостного гиперболоида.

 

     1. Двуполостный гиперболоид – неограниченная поверхность, поскольку из его уравнения следует,

что  и неограничен сверху.

     2. Двуполостный гиперболоид обладает

  • центральной симметрией относительно начала координат,
  • осевой симметрией относительно всех координатных осей,
  • плоскостной симметрией относительно всех координатных плоскостей.

     3. В сечении однополостного гиперболоида плоскостью, перпендикулярной оси координат Oz, при 

получается эллипс, при  – точка, а в сечении плоскостями, перпендикулярными осям

Ox и Oy, – гипербола.

 

          

 

Эллиптический параболоид.

 

 

В случае, если a=b≠0, перечисленные выше (эллипсоид, однополостной гиперболоид, двуполостной

гиперболоид, эллиптический параболоид) поверхности являются поверхностями вращения.

 

Эллиптический параболоид.

 

Свойства эллиптического параболоида.

 

     1. Эллиптический параболоид – неограниченная поверхность, поскольку из его уравнения следует,

что z ≥ 0 и принимает сколь угодно большие значения.

     2. Эллиптический параболоид обладает:

  • осевой симметрией относительно оси Oz,
  • плоскостной симметрией относительно координатных осей Oxz и Oyz.

     3. В сечении эллиптического параболоида плоскостью, ортогональной оси Oz, получается эллипс, а

плоскостями, ортогональными осям Ox и Oy – парабола.

 

Уравнение эллиптического параболоида имеет вид:

 

 

Если a=b, то эллиптический параболоид представляет собой поверхность вращения, образованную

вращением параболы, параметр которой , вокруг вертикальной оси, проходящей через

вершину и фокус данной параболы.

 

Пересечение эллиптического параболоида с плоскостью z=z0>0 является эллипсом.

 

Пересечение эллиптического параболоида с плоскостью x=x0 или y=y0 является параболой.