Каждая, отдельно взятая величина полностью определяется своей функцией распределения. Также, для решения практических задач хватает знать несколько числовых характеристик, благодаря которым появляется возможность представить основные особенности случайной величины в краткой форме.

К таким величинам относят в первую очередь математическое ожидание и дисперсия.

Математическое ожидание — среднее значение случайной величины в теории вероятностей. Обозначается как .

Самым простым способом математическое ожидание случайной величины Х(w), находят как интеграл Лебега по отношению к вероятностной мере Р исходном вероятностном пространстве

Еще найти математическое ожидание величины можно как интеграл Лебега от х по распределению вероятностей РХ величины X:

где  - множество всех возможных значений X.

Математическое ожидание функций от случайной величины X находится через распределение РХ. Например, если X - случайная величина со значениями в  и f(x) - однозначная борелевская функция Х, то:

Если F(x) - функция распределения X, то математическое ожидание представимо интегралом Лебега - Стилтьеса (или Римана - Стилтьеса):

при этом интегрируемость X в смысле (*) соответствует конечности интеграла 

В конкретных случаях, если X имеет дискретное распределение с вероятными значениями хk, k=1, 2, . , и вероятностями , то

если X имеет абсолютно непрерывное распределение с плотностью вероятности р(х), то

при этом существование математического ожидания равносильно абсолютной сходимости соответствующего ряда или интеграла.

 

Свойства математического ожидания случайной величины.

  • Математическое ожидание постоянной величины равно этой величине:

M[C]=C,

C – постоянная;

  • M[C•X]=C•M[X]
  • Математическое ожидание суммы случайно взятых величин равно сумме их математических ожиданий:

  • Математическое ожидание произведения независимых случайно взятых величин = произведению их математических ожиданий:

M[X+Y]=M[X]+M[Y]

если X и Y независимы.

  • ЕС=С для любого действительного С
  •  для любых действительных a и b;
  •  

если сходится ряд:

  •  для выпуклых функций g(x).
  • любая ограниченная случайно взятая величина имеет конечное математическое ожидание.
  • для взаимно независимых случайных величин X1, ..., Хп:

 

Алгоритм вычисления математического ожидания.

Свойства дискретных случайных величин: все их значения можно перенумеровать натуральными числами; каждому значению приравнять отличную от нуля вероятность.

     1. По очереди перемножаем пары: xi на pi.

     2. Складываем произведение каждой пары xipi.

 

Напрмер, для n = 4:

Функция распределения дискретной случайной величины ступенчатая, она возрастает скачком в тех точках, вероятности которых имеют положительный знак.

Пример: Найти математическое ожидание по формуле:

Найти математическое ожидание по формуле:

 

Математическое ожидание M[X] равно:

Дисперсию найдем по формуле:

Дисперсия D[X]:

Среднее квадратическое отклонение σ(x).