Геометрические тела. Тор (тороид).

Тор (тороид) — поверхность вращения, которая получается методом вращения образующей окружности вокруг оси, которая лежит в плоскости этой окружности, но при этом не проходит через её центр. Причем ось вращения может пересекать окружность, касаться ее и располагаться вне окружности.

В 1-х двух случаях тор является закрытым, в последнем — открытым, или кольцом.

Красным обозначена образующая окружность.

Тор – это поверхность 4-го порядка.

Ось тора.

Ось тора может располагаться вне образующей окружности или касаться её.

Свойства тороида.

• Площадь поверхности тора: .
• Объём тела, который ограничивается тором: .
• Тор с вырезанным диском («проколотый») можно вывернуть наизнанку непрерывным образом (топологически, т.е. серией диффеоморфизмов). Причем 2-е окружности на нём, которые пересекаются перпендикулярно («параллель» и «меридиан») меняются местами друг с другом:

• 2 «дырявых» тора, переплетенных между собой, можно продеформировать таким образом, чтобы 1-н из торов «поглотил» другой.
• Наименьшее количество цветов, которое необходимо для раскрашивания участков тора таким образом, чтобы соседние оказались разных цветов, является семь.

Сечения тороида.

1. При сечении тора бикасательной плоскостью кривая четвёртого порядка, которая образуется, является вырожденной: пересечение называется объединением 2-х окружностей являющимися окружностями Вилларсо:

2. Открытый тор можно представить в виде поверхности вращения окружности зацепленной за ось вращения.

3. 1-но из сечений открытого тора — лемниската Бернулли, остальные кривые линии называются графическими линиями и являются кривыми Персея (спирические линии, сечения тора плоскостью, которая параллельна его оси)

4. Некоторые пересечения поверхности тора плоскостью выглядят как эллипс (кривая второго порядка). Кривая, которая получается т.о., выражается алгебраическим уравнением четвертого порядка.