Геометрические фигуры. Параллелограмм.

Параллелограмм - это четырехугольник с попарно параллельными противоположными сторонами (находятся на параллельных прямых).

Частные случаи параллелограмма - прямоугольник, квадрат и ромб.

Свойства параллелограмма.

• Противолежащие стороны параллелограмма имеют равную длину.

|AB| = |CD|, |AD| = |BC|.

• Противолежащие углы параллелограмма имеют равную величину.

• Точка пересечения диагоналей пареллелограмма делит диагонали на 2 равные части.

|AO| = |OC|, |BO| = |OD|.

• Сумма углов, которые прилежат к одной стороне, равняется 180°.
• Точка пересечения диагоналей оказывается центром симметрии параллелограмма.
• Сумма всех углов соответствует 360 градусам (сумма углов многоугольника равняется 180 (n - 2), где n число углов).
• В параллелограмм вписывают окружность, значит, суммы его противолежащих сторон имеют одинаковую длину.
• (Тождество параллелограмма). Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равняется двойной сумме квадратов его 2-х смежных сторон: пусть а — длина стороны AB, b — длина стороны BC,  d₁  и d₂  — длины диагоналей, тогда:

d₁²+d₂² = 2(a² + b²).

• Аффинное преобразование всегда переводит параллелограмм в параллелограмм. Для всякого параллелограмма есть аффинное преобразование, отображающее его в квадрат.

Признаки параллелограмма.

Четырёхугольник ABCD будет параллелограммом, когда выполняется 1-но из следующих условий:

1. Противолежащие стороны попарно имеют одинаковую длину и они параллельны:

.

2. Противолежащие углы попарно равны: .

3. Диагонали делятся в точке их пересечения пополам: AO = OC, BO = OD.

4. Сумма углов, которые расположены рядом, равна 180 градусов: .

5. Сумма расстояний между серединами противоположных сторон выпуклого четырехугольника = его 1/2 его диаметра.

6. Сумма квадратов диагоналей = сумме квадратов сторон параллелограмма: AC²+BD² = AB²+BC²+CD²+DA².

Площади фигур. Площадь параллелограмма.