Формула Герона позволяет определить площадь треугольника (S) из его сторон a, b, c.

 

Чтобы вычислить площадь треугольника ∆ABC, если известны длины его сторон a, b и c, используют формулу Герона:

 

Формула Герона.

 

где p — полупериметр треугольника:

Формула Герона..

 

Описание: Треугольник

 

Рассмотрим нахождение площади треугольника с помощью формулы Герона:

Есть треугольник со сторонами a = 5, b = 6, c = 7. Вычислим полупериметр:

 

Описание: p=((5+6+7))/2=9

 

Далее подставляем данные в формулу для определения площади:

 

Описание: S=sqrt{9*(9-5)(9-6)(9-7)}=sqrt{9*24}=sqrt{216}=14,7

 

Площадь треугольника, определенная при помощи формулы Герона равняется 14,7 см2.

 

Формула Герона, доказательство.

Рассматриваем треугольник ABC, |AB|=c, |BC|=a, |AC|=b.

В нем: CH — высота треугольника ABC, которая проведена из вершины C, |CH|=h, |AH|=x, |BH|=y.

Тогда c=x+y, и из теоремы Пифагора из треугольников ACH и BCH имеем:

 

Описание: h^2=b^2-x^2=a^2-y^2

Отсюда:

Описание: y^2-x^2=a^2-b^2,(y-x)(y+x)=a^2-b^2.

 

Учитывая, что x+y=c, получаем Описание: (y-x)c=a^2-b^2 и Описание: displaystyle y-x=frac{1}{c}(a^2-b^2).

Складываем последнее равенство с равенством y+x=c, получаем:

Описание: displaystyle 2y=c+frac{a^2-b^2}{c}

и

Описание: displaystyle y=frac{c^2+a^2-b^2}{2c}.

Описание: http://hijos.ru/wp-content/uploads/2012/09/heron1.png

 

Далее находим высоту h треугольника:

Описание: h^2=a^2-y^2=(a-y)(a+y)=

Описание: displaystyle =left( a-frac{c^2+a^2-b^2}{2c}
ight)left( a+frac{c^2+a^2-b^2}{2c}
ight)=

Описание: displaystyle=frac{2ac-c^2-a^2+b^2}{2c}cdotfrac{2ac+c^2+a^2-b^2}{2c}=

Описание: displaystyle=frac{b^2-(a-c)^2}{2c}cdotfrac{(a+c)^2-b^2}{2c}=

Описание: displaystyle=frac{(b-a+c)cdot(b+a-c)}{2c}cdotfrac{(a+c-b)cdot(a+c+b)}{2c}.

Так как:

Описание: b+c=2p-a,a+b=2p-c,a+c=2p-b,a+c+b=2p

 

Подставляем эти выражения в определенное выражение для h2:

 

Описание: displaystyle h^2=frac{(2p-2a)(2p-2c)(2p-2b)2p}{4c^2}=frac{4p(p-a)(p-b)(p-c)}{c^2}

 

Учитываем то, что Описание: displaystyle S_{ABC}=frac{1}{2}ch, получаем требуемое.