Формула Тейлора показывает поведение функции в окрестности некоторой точки. Формулу Тейлора функции зачастую используют доказывая теоремы в дифференциальном исчислении.

 

Формула Тейлора:

Описание: Формула Тейлора функции

 

где Rn(x) - остаточный член формулы Тейлора.

 

Формула Тейлора для многочлена.

Есть функция ƒ(х) и многочлен Рn(х) степени n:

 

ƒ(х)=Рn(х)=а01х+а2х2+...+аnхn.

 

Преобразуем этот многочлен в многочлен степени n относительно разности х-х0, где х0 — любое число, то есть представим Рn(х) как:

 

Рn(х)=А0+A1(x-х0)+А2(х-х0)2+...+Аn(х-х0)n     (1)

 

Для определения коэффициентов А0, А1,..., Аn дифференцируем n раз равенство (1):

Р'n(х)=А1+2А2(х-x0)+3A3(x-x0)2+...+nAn(x-x0)n-1,

Рn''(х)=2А2+2•3А3(х-х0)+...+n(n-1)Аn(х-х0)n-2,

Рn"'(х)=2•3А3+2•3•4А4(х-х0)+...+n(n-1)(n-2)Аn(х-х0)n-3,

- - - - - - - - - - - - - - - - - -

Рn(n)(х)=n(n-1)( n-2)...2•1Аn

 

Подставляем х=х0 в равенства, которые мы получили и равенство (1), получаем:

 

Описание: http://www.znannya.org/images/math/lect/lect1-22-pic/lect2237.jpg

 

Подставляем определенные значения A0, A1, ..., An в равенство (1), получаем разложение многочлена n-й степени Рn(х) по степеням (х-х0):

Описание: http://www.znannya.org/images/math/lect/lect1-22-pic/lect2238.jpg

 

Эта формула является формулой Тейлора для многочлена Рn(х) степени n.

 

Формула Тейлора для произвольной функции.

Описание: C:UsersiriffochkaDesktoplect2240.jpg

 

Остаточный член формулы Тейлора.

В форме Лагранжа:

Описание: Остаточный член формулы Тейлора в форме Лагранжа

В форме Коши:

Описание: Остаточный член формулы Тейлора в форме Коши