Формула Ньютона — Лейбница (основная теорема анализа) дает связь между 2-мя операциями: взятием интеграла Римана и определением первообразной. Формула Ньютона-Лейбница - важнейшая формула интегрального исчисления.

 

Пусть  f непрерывна на отрезке [a,b] и Φ, ее всякая первообразная на этом отрезке, тогда имеет место равенство:

 

Описание: intlimits_a^b f(x)dx = Phi(b) - Phi(a) = Bigl.PhiBigl|_a^b

 

Эта формула верна для всех функций f(x), непрерывной на отрезке [а, b], Φ - первообразная для f(x). Т.о., что бы вычислить конкретный интеграл, необходимо найти любую первообразную Φ функции f(x), определить ее значения в точках a и b и вычислить Φ (b) – F(a).

 

Рассмотрим применение формулы Ньютона-Лейбница на конкретном примере:

Вычислить интеграл Описание: http://www.math24.ru/images/10int23.gif.

Решение:

Применяем формулу Ньютона-Лейбница:

Описание: http://www.math24.ru/images/10int24.gif