Теорема Виета.

Формулы Виета — это формулы, которые выражают коэффициенты многочлена через его корни.

Эти формулы хорошо использовать для сверки правильности определения корней многочлена. Еще их

используют для выведения многочлена из заданных корней.

С помощью теоремы Виета решаются квадратные уравнения.

Если наибольший коэффициент многочлена , т.е. многочлен не приведенный, значит, для

использования формулы Виета нужно сначала поделить все коэффициенты на   (это не сказывается на

значении корней многочлена). В таком случае формулы Виета дают выражение для отношений всех

коэффициентов к наибольшему.

Формулировка теоремы Виета для квадратного трехчлена.

Для приведенного квадратного уравнения (такого, коэффициент при x² в котором = 1): сумма корней

приведённого квадратного уравнения    равна коэффициенту  со знаком «-», а

произведение корней = свободному члену .

В общем случае – для не приведённого квадратного уравнения:

Пользуясь этой теоремой, легко находить корни некоторых квадратных уравнений в уме.

Смысл теоремы Виета состоит в том, что, не зная корней квадратного трехчлена, запросто можно вычислить

их сумму и произведение –  простейшие симметричные многочлены от двух переменных   и .

Теорема Виета дает угадывать целые корни квадратного трехчлена.

Обратная теорема Виета.

Теорема:

Если числа  и   удовлетворяют соотношениям  , то они удовлетворяют

квадратному уравнению  , то есть являются его корнями.

Пример:

Даны числа  и  - корни некоторого квадратного уравнения. Необходимо составить

квадратное уравнение.

Решение:

Предположим наше квадратное уравнение выглядит так:

Значит, согласно теореме Виета, его коэффициенты связаны с корнями таким соотношениями:

Из этого следует:

Таким образом квадратное уравнение:

Ответ:

Общая формулировка теоремы Виета.

Если  - корни многочлена  (все корни взяты

соответствующее их кратности количество раз), то коэффициенты  выражают в виде

симметрических многочленов от корней, как показано ниже:

Другими словами, произведение  соответствует сумме всех возможных произведений из  корней.