Вписанный угол – это угол, сформированный двумя хордами, берущими начало в одной точки окружности. О вписанном угле говорят, что он опирается на дугу, заключенную между его сторонами.

Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.

Говоря другими словами, вписанный угол включает в себе столько угловых градусов, минут и секунд, сколько дуговых градусов, минут и секунд заключено в половине дуги, на которую он опирается. Для обоснования проанализируем три случая:

Первый случай:

Вписанный угол.

 

 

Центр O расположен на стороне вписанного угла ABС. Прочертив радиус AO, мы получим ΔABO, в нем OA = OB (как радиусы) и, соответственно, ∠ABO = ∠BAO. По отношению к этому треугольнику, угол AOС - внешний. И значит, он равен сумме углов ABO и BAO, или равен двойному углу ABO. Значит ∠ABO равен половине центрального угла AOС. Но этот угол измеряется дугой AC. То есть, вписанный угол ABС измеряется половиной дуги AC.

Второй случай:

Вписанный угол.

 

Центр O расположен между сторонами вписанного угла ABС.Начертив диаметр BD, мы поделим угол ABС на два угла, из которых, по установленному в первом случае, один измеряется половиной дуги AD, а другой половиной дуги СD. И соответственно угол ABС измеряется (AD+DС) /2, т.е. 1/2 AC.

Третий случай:

Вписанный угол.

 

Центр O расположен вне вписанного угла ABС. Начертив диаметр BD, мы будем иметь:∠ABС = ∠ABD - ∠CBD. Но углы ABD и CBD измеряются, на основании обоснованного ранее половинами дуг AD и СD. И так как ∠ABС измеряется (AD-СD)/2, то есть половиной дуги AC.

Следствие 1. Любые вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу одинаковы, то есть равны между собой. Поскольку каждый из них измеряется половиной одной и той же дуги.

 

Следствие 2. Вписанный угол, опирающийся на диаметр - прямой угол. Поскольку каждый такой угол измеряется половиной полуокружности и, соответственно, содержит 90°.

 

вписанные углы