Вектор. Векторное произведение векторов.

Векторное произведение — это псевдовектор, который перпендикулярен плоскости, построенной по двум

сомножителям, которые являются результатом бинарной операции «векторное умножение» над

векторами в трёхмерном евклидовом пространстве.

Векторное произведение не имеет свойств коммутативности и ассоциативности (антикоммутативное)

и, в отличие от скалярного произведения векторов, является вектором.

Векторное произведение помогает в «измерении» перпендикулярности векторов — модуль

векторного произведения двух векторов равен произведению модулей этих векторов, если они

перпендикулярны, и стремится к нулю, если векторы параллельны или антипараллельны.

В отличие от формулы для вычисления по координатам векторов скалярного произведения в

трёхмерной прямоугольной системе координат, формула для векторного произведения зависит

от ориентации прямоугольной системы координат или, говоря другими словами, её «хиральности».

Векторное произведение двух векторов обозначается квадратными скобками:

Свойства векторного произведения векторов.

      1. Геометрический смысл векторного произведения векторов.

 Векторным произведением вектора  на вектор  является

вектор , длина его численно соответствует площади

параллелограмма, который построен на векторах  и ,

перпендикулярный к плоскости этих векторов и направлен

так, чтоб самое маленькое вращение от  к  около

вектора  происходило против часовой стрелки, если взгляд вести

с конца вектора .

Модуль векторного произведения двух векторов  и  = площади параллелограмма, который

построен на них:

Площадь треугольника строящегося на векторах  и   соответствует одной второй модуля

векторного произведения векторов  и   :

      2. Вектор  перпендикулярен векторам  и , то есть   и ;

      3. Вектор  направлен таким образом, что поворот от вектора  к вектору   происходит против часовой стрелки, если смотришь с конца вектора  (в таком случае тройка векторов ,  и   – правая).

      4. Длина вектора  равна || * || sin<(,).

      5. Векторное произведения двух не нулевых векторов  и   = 0 тогда и только тогда, когда

эти вектора коллинеарны.

      6. Вектор , равен векторному произведению не нулевых векторов  и   и перпендикулярен

им.

      7. 

      8. 

      9. 

Как найти векторное произведение векторов, формула.

Векторное произведение двух векторов  в

декартовой системе координат – его значение можно вычислить по схеме приведенной ниже:

либо

Выражение векторного произведения через координаты.

Если направление самого короткого пути от 1 вектора ко 2 совпадает с направлением стрелки, то

произведение векторов равно 3 вектору, а если оно не одинаково — 3 вектор приобретает знак «—».

Предположим, нам даны 2 вектора а=а_хi +a_yj +a_zk и b =b_xi +b_yj +b_zk . Найдем векторное произведение

этих векторов, перемножив их как многочлены (согласно свойствам векторного произведения векторов):

Окончательную формулу легко выразить еще короче: