Также его называют тройным скалярным произведением векторов, скорее всего это связано с тем,

что результат - это скаляр (точнее — псевдоскаляр).

 

Смешанное произведение векторов — скалярное произведение вектора  на векторное произведение векторов  и .

 

Или другими словами:

Смешанным произведением векторов  является число , состоящее из скалярного произведения вектора  на векторное произведение векторов  и . Смешанное произведение

векторов записывается следующим образом:

 

 

Геометрический смысл смешанного произведения векторов.

 

Геометрический смысл смешанного произведения векторов: если три вектора  правые, то их

смешанное произведение равно объему параллелепипеда построенного на них:

 

.

 

В случае левой тройки , смешанное произведение указанных векторов равно объему

параллелепипеда со знаком “–“:

 

.

 

Если ,  и  компланарны, то их смешанное произведение = 0.

 

Вывод: объем параллелепипеда, построенного на векторах ,  и  равен модулю смешанного

произведения этих векторов:

 

Объем пирамиды, построенной на этой тройке этих векторов, находим по формуле:

 

 

Геометрические свойства смешанного произведения векторов.

 

     1. Модуль смешанного произведения некомпланарных векторов  равен объему

 параллелепипеда, построенного на этих векторах. Произведение  будет со знаком плюс, если

тройка векторов  — правая, и будем иметь отрицательный знак, если тройка  — левая,

и наоборот.

 

     2. Смешанное произведение  =0 тогда и только тогда, когда векторы  компланарны:

 

 векторы  компланарны.

 

Алгебраические свойства смешанного произведения векторов.

 

     1. При перемене мест двух множителей смешанное произведение меняет знак на противоположный:

 

 

При циклической (круговой) перестановке множителей смешанное произведение остается без изменений:

 

 

     2. Смешанное произведение линейно по любому множителю.

 

Первое свойство следует из первого геометрического свойства и свойств ориентации троек векторов, так

как от перестановки двух множителей местами, модуль смешанного произведения остается прежним, а

изменяется только ориентация тройки. При циклической перестановке векторов ориентация тройки

остается без изменений.

 

Второе свойство следует из линейности скалярного произведения и первого свойства.

 

Формула вычисления смешанного произведения векторов.

 

Теорема (формула вычисления смешанного произведения векторов):

 

Если у векторов  в правом ортонормированном базисе  координаты, ,

 соответственно, то смешанное произведение их вычисляется по следующей формуле:

 

 

Из определения следует:

 

 

что и требовалось доказать.

 

Еще некоторые свойства смешанного произведения векторов.

 

     1. 

 

     2. 

 

     3 .Три вектора компланарны в том случае, если  

 

     4. Тройка векторов будет правой только если . Ежели , то векторы,  и 

 создают левую тройку векторов.

 

     5. 

 

     6. 

 

     7. 

 

     8. 

 

     9. 

 

     10. Тождество Якоби:

 

Если векторы ,  и  заданы своими координатами, то их

смешанное произведение можно найти по формуле, приведенной ниже: