Объемы фигур. Объем пирамиды.

Пирамида — это многогранник, у которого одна грань — основание пирамиды — произвольный многоугольник, а остальные — боковые грани — треугольники с общей вершиной, называемой вершиной пирамиды.

По числу углов основания различают пирамиды треугольные, четырёхугольные и т. д. Пирамида является частным случаем конуса.

Воспользуйтесь онлайн калькулятором для расчета объема пирамиды: объем пирамиды, онлайн расчет.

Для расчета объемов других тел воспользуйтесь этим калькулятором: калькулятор объемов фигур.

Элементы пирамиды.

• апофема — высота боковой грани правильной пирамиды, проведённая из её вершины (также апофемой называют длину перпендикуляра, опущенного из середины правильного многоугольника на одну из его сторон);
• боковые грани — треугольники, сходящиеся в вершине;
• боковые ребра — общие стороны боковых граней;

• вершина пирамиды — точка, соединяющая боковые рёбра и не лежащая в плоскости основания;

• высота — отрезок перпендикуляра, проведённого через вершину пирамиды к плоскости её основания (концами этого отрезка являются вершина пирамиды и основание перпендикуляра);
• диагональное сечение пирамиды — сечение пирамиды, проходящее через вершину и диагональ основания;
• основание — многоугольник, которому не принадлежит вершина пирамиды.

Вспомогательные формулы.

     1. Боковая поверхность — это сумма площадей боковых граней:

     2. Полная поверхность — это сумма площади боковой поверхности и площади основания:

     3. Боковая поверхность — это сумма площадей боковых граней:

где  a  — апофема , 

P — периметр основания, 

n — число сторон основания, 

b — боковое ребро,

α — плоский угол при вершине пирамиды.

Общая формула, по которой можно найти объем пирамиды.

Объем пирамиды равен одной трети произведения площади основания S (ABCDE) на высоту h (OS)

                                            , где  

S – площадь основания пирамиды,

h – высота пирамиды

Или:  

  — объём параллелепипеда;

Правильная пирамида.

Правильная пирамида — пирамида, в основании, которой лежит правильный многоугольник, а высота проходит через центр вписанной окружности в основание.

Формула для вычисления объема правильной пирамиды:

h - высота пирамиды

a - сторона основания пирамиды

n - количество сторон многоугольника в основании

Правильная треугольная пирамида.

Правильная треугольная пирамида — пирамида, у которой основанием является равносторонний треугольник и грани равные равнобедренные треугольники.

Формула для нахождения объема правильной треугольной пирамиды:

h - высота пирамиды

Правильная четырехугольная пирамида.

Правильная четырехугольная пирамида — пирамида, у которой основанием является квадрат и грани равные равнобедренные треугольники.

Формула для определения объема правильной четырехугольной пирамиды:

h - высота пирамиды

a - сторона основания пирамиды

Тетраэдр.

Тетраэдр — пирамида, у которой все грани — равносторонние треугольники.

Формулы для вычисления объема тетраэдра:

a - ребро тетраэдра

Или: 

 — скрещивающиеся рёбра,  — расстояние между a₁ и a₂,  — угол между a₁ и a₂;

Усеченная пирамида.

Сечение параллельное основанию пирамиды делит пирамиду на две части. Часть пирамиды между ее основанием и этим сечением — это усеченная пирамида.

Объем усеченной пирамиды равен одной трети произведения высоты h (OS) на сумму площадей верхнего основания S₁ (abcde), нижнего основания усеченной пирамиды S₂ (ABCDE) и средней пропорциональной между ними.

S₁ - площадь верхнего основания усеченной пирамиды,

S₂ - площадь нижнего основания усеченной пирамиды,

h - высота усеченной пирамиды