Пирамида — это многогранник, у которого одна грань — основание пирамиды — произвольный многоугольник, а остальные — боковые грани — треугольники с общей вершиной, называемой вершиной пирамиды.

 

По числу углов основания различают пирамиды треугольные, четырёхугольные и т. д. Пирамида является частным случаем конуса.

 

Воспользуйтесь онлайн калькулятором для расчета объема пирамиды: объем пирамиды, онлайн расчет.

Для расчета объемов других тел воспользуйтесь этим калькулятором: калькулятор объемов фигур.

 

Элементы пирамиды.

 

  • апофема — высота боковой грани правильной пирамиды, проведённая из её вершины (также апофемой называют длину перпендикуляра, опущенного из середины правильного многоугольника на одну из его сторон);
  • боковые грани — треугольники, сходящиеся в вершине;
  • боковые ребра — общие стороны боковых граней;
  • вершина пирамиды — точка, соединяющая боковые рёбра и не лежащая в плоскости основания;
  • высота — отрезок перпендикуляра, проведённого через вершину пирамиды к плоскости её основания (концами этого отрезка являются вершина пирамиды и основание перпендикуляра);
  • диагональное сечение пирамиды — сечение пирамиды, проходящее через вершину и диагональ основания;
  • основание — многоугольник, которому не принадлежит вершина пирамиды.

 

Вспомогательные формулы.

 

     1. Боковая поверхность — это сумма площадей боковых граней:

 

264fa7bce579b99fb64b29ea228729c0

 

     2. Полная поверхность — это сумма площади боковой поверхности и площади основания:

 

6b6b44db53f472546ae5ae38ec669f56

 

     3. Боковая поверхность — это сумма площадей боковых граней:

 

33c799deed424fd68bbd980863ee0b0f

где  a  — апофема , 

P — периметр основания, 

n — число сторон основания, 

b — боковое ребро,

α — плоский угол при вершине пирамиды.

 

Общая формула, по которой можно найти объем пирамиды.

 

Объем пирамиды равен одной трети произведения площади основания S (ABCDE) на высоту h (OS)

 

 

                                            Объемы фигур. Объем пирамиды., где  

 

S – площадь основания пирамиды,

h – высота пирамиды

 

Или:  

                                            Объемы фигур. Объем пирамиды.

Объемы фигур. Объем пирамиды.  — объём параллелепипеда;

                  Объемы фигур. Объем пирамиды.

 

Правильная пирамида.

 

Правильная пирамида — пирамида, в основании, которой лежит правильный многоугольник, а высота проходит через центр вписанной окружности в основание.

 

Формула для вычисления объема правильной пирамиды:

                                                  Объемы фигур. Объем пирамиды.

h - высота пирамиды

a - сторона основания пирамиды

n - количество сторон многоугольника в основании

 

                Объемы фигур. Объем пирамиды.

Правильная треугольная пирамида.

 

Правильная треугольная пирамида — пирамида, у которой основанием является равносторонний треугольник и грани равные равнобедренные треугольники.

Формула для нахождения объема правильной треугольной пирамиды:

 

Объемы фигур. Объем пирамиды.

 

h - высота пирамиды

a - сторона основания пирамиды
Объемы фигур. Объем пирамиды.

 

Правильная четырехугольная пирамида.

 

Правильная четырехугольная пирамида — пирамида, у которой основанием является квадрат и грани равные равнобедренные треугольники.

 

Формула для определения объема правильной четырехугольной пирамиды:

 

Объемы фигур. Объем пирамиды.

h - высота пирамиды

a - сторона основания пирамиды

Объемы фигур. Объем пирамиды.

Тетраэдр.

 

Тетраэдр — пирамида, у которой все грани — равносторонние треугольники.

 

Формулы для вычисления объема тетраэдра:

                                                   Объемы фигур. Объем пирамиды.

a - ребро тетраэдра

Или: 

                                                          Объемы фигур. Объем пирамиды.

 

Объемы фигур. Объем пирамиды.

* — скрещивающиеся рёбра, 8277e0910d750195b448797616e091ad — расстояние между a1 и a2, 3538eb9c84efdcbd130c4c953781cfdb — угол между a1 и a2;

 

Усеченная пирамида.

 

Сечение параллельное основанию пирамиды делит пирамиду на две части. Часть пирамиды между ее основанием и этим сечением — это усеченная пирамида.

 

Объем усеченной пирамиды равен одной трети произведения высоты h (OS) на сумму площадей верхнего основания S1 (abcde), нижнего основания усеченной пирамиды S2 (ABCDE) и средней пропорциональной между ними.

Объемы фигур. Объем пирамиды.

 

S1 - площадь верхнего основания усеченной пирамиды,

S2 - площадь нижнего основания усеченной пирамиды,

h - высота усеченной пирамиды

Объемы фигур. Объем пирамиды.