Геометрические фигуры. Правильная пирамида.

Правильная пирамида - когда основанием пирамиды является правильный многоугольник, а высота проецируется в центр основания (или проходит через него).

В правильной пирамиде все боковые ребра имеют одинаковую величину, и каждая боковая грань является равнобедренными треугольниками одного размера.

Правильная пирамида обладает следующими свойствами:

• боковые рёбра правильной пирамиды имеют равную величину;
• в правильной пирамиде каждая боковая грань — конгруэнтный равнобедренный треугольник;
• во все правильные пирамиды можно как вписать, так и описать вокруг неё сферу;
• когда центры вписанной и описанной сферы совпадают, значит, сумма плоских углов у вершины пирамиды равняется , а всякий из них соответственно , где n — число сторон многоугольника основания;
• площадь боковой поверхности правильной пирамиды равняется ½ произведения периметра основания на апофему.

Формулы для правильной пирамиды.

V - объем пирамиды,

S - площадь основания пирамиды,

h - высота пирамиды,

Sb - площадь боковой поверхности пирамиды,

a - апофема (не путать с α) пирамиды,

P - периметр основания пирамиды,

n - число сторон основания пирамиды,

b - длина бокового ребра пирамиды,

α - плоский угол при вершине пирамиды.

Ниже указанная формула определения объема используется лишь для правильной пирамиды:

V - объем правильной пирамиды,

h - высота правильной пирамиды,

n - количество сторон правильного многоугольника, основания правильной пирамиды,

a - длина стороны правильного многоугольника.

Боковое ребро правильной пирамиды находят по формуле:

где b — боковое ребро правильной пирамиды (SA, SB, SC, SD либо SE),

n — количество сторон правильного многоугольника (основание правильной пирамиды),

a — сторона правильного многоугольника (AB, BC, CD, DE либо EA) - основания правильной пирамиды,

h — высота правильной пирамиды (OS).

Указания к решению задач. Свойства, которые мы перечислили выше, помогают при практическом решении. Когда нужно определить углы наклона граней, их поверхность и так далее, значит общая методика сводится к разбиению всей объемной фигуры на отдельные плоские фигуры и применение их свойств для определения отдельных элементов пирамиды, так как большинство элементов оказываются общими для нескольких фигур.

Нужно разбить всю объемную фигуру на отдельные элементы - треугольники, квадраты, отрезки. Дальше, к отдельным элементам применяем знания из курса планиметрии, что очень упрощает определение ответа.

Правильная треугольная пирамида.

Правильная треугольная пирамида - это пирамида, у которой основанием оказывается правильный треугольник, а вершина опускается в центр основания.

Формулы для правильной треугольной пирамиды.

Формула для нахождения объема правильной треугольной пирамиды:

V - объем правильной пирамиды, которая имеет в основании правильный (равносторонний) треугольник,

h - высота правильной пирамиды,

a - длина стороны основания правильной пирамиды.

Так как правильная треугольная пирамида - это частный случай правильной пирамиды, значит, формулы, верные для правильной пирамиды, оказываются верными и для правильной треугольной.

Еще одним частным случаем правильно пирамиды является тетраэдр.